浅谈高考对求数列通项公式问题的考查

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1、高中数学教与学2012年○高考复习研究○浅谈高考对求数列通项公式问题的考查雷亚庆(江苏省南京市大厂高级中学，210044)一、直接利用等差或等比数列定义求通∵a2=2S1=2a1=2，项a2∴=2≠3，利用已知条件求出首项与公差(公比)后a1再写出通项．∴{an}从第2项起是等比数列．n－2例1已知实数列{an}是等比数列，其中∴n≥2时，an=2·3．a7=1，且a4、a5+1、a5成等差数列，求数列1，n=1，因此，an={n－2{an}的通项公式．2·3，n≥2．解设数列{an}的公比为q(q≠0)．例3

2、已知各项均为正数的数列{an}的6－6由a7=a1q=1，得a1=q，从而a4=前n项和满足Sn＞1，且6Sn=(an+1)(an+3－34－25－1*a1q=q，a5=a1q=q，a6=a1q=q．2)，n∈N．求{an}的通项公式．因为a4、a5+1、a6成等差数列，所以1解由a1=S1=(a1+1)(a1+2)，a+a=2(a+1)，6465－3+q－1=2(q－2+1)，解得a=1或a=2，即q11q－1(q－2+1)=2(q－2+1)．由假设a=S＞1，因此a=2．11111所以q=．又由an+1=S

3、n+1－Sn=(an+1+1)(an+126n－11n－1－6n－11故an=a1q=q·q=64()．+2)－6(an+1)(an+2)，得222评注对等差、等比数列基本量之间关6an+1=an+1－an+3an+1－3an．系的考查是数列部分最基础的内容．∴an+1－an－3=0或an+1=－an，二、利用数列的前n项和Sn与an的关系因an＞0，故an+1=－an不成立，舍去．求通项因此，an+1－an－3=0．从而{an}是公差求数列{an}的通项an可用公式为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为

4、S1(n=1)，an=3n－2．a=n{S－S(n≥2)．三、由递推公式求通项公式nn－1例2(福建高考题)数列{an}的前n项考纲中，对递推公式的要求并不很高，只*和为Sn，a1=1，an+1=2Sn(n∈N)．求数列要求会用递推公式求出数列的前几项，但高{a}的通项a．考中由递推公式引出的数列问题都有很强的nn解∵an+1=2Sn，综合性，而利用递推公式求解通项公式是解∴n≥2时，a=2S，决这一类问题的关键．nn－1an+1题型1递推公式为an+1=an+f(n)．∴a－a=2a，即=3(n≥2)．n+1

5、nnan这类题型的解法是:把原递推公式转化·26·第1期高中数学教与学为an+1－an=f(n)，利用累加法(逐差相加n－1an1×=．法)求解．na1n例4数列{an}中，a1=2，an+1=an+又∵a=2，∴a=2．1n33ncn(c是常数，n=1，2，3，…)，且a1、a2、a3成公比不为1的等比数列．题型3递推公式为an+1=can+d(其中c，d均为常数)．(1)求c的值;(1)当c=0时，数列为常数列;(2)求{a}的通项公式．n(2)当c=1，时，数列为等差数列;解(1)a1=2，a2=2+c

6、，a3=2+3c，(3)当c≠0，d=0时，数列为等比数列．因为a1、a2、a3成等比数列，所以(2+c)2=2(2+3c)，以下考察cd(c－1)≠0的情形．解得c=0或c=2．解法1把原递推公式转化为:an+1+t=d当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍c(an+t)，其中t=，则数列{an+t}是等c－1去，故c=2．比数列．进一步求出{an}的通项公式．(2)当n≥2时，由于解法2由an+1=can+d，得an=can－1+a－a=c，21d(n≥2)，相减得a－a=c(a－a)，所n+1nnn－

7、1a－a=2c，32以数列{an+1－an}是等比数列，即可转化为题……型1求解．a－a=(n－1)c，nn－1例6(全国高考题)已知数列{an}中，将以上各项相加得a=2，a=(槡2－1)(a+2)，n=1，2，3，a－a=［1+2+…+(n－1)］c1n+1nn1…求{a}的通项公式;n(n－1)n=c．2解由题设得又a1=2，c=2，a=(槡2－1)a+2(槡2－1)，n+1n所以an=2+n(n－1)d2(槡2－1)2两边加上t===－槡2，得=n－n+2(n=2，3，…)．c－1槡2－1－1当n=1时

8、，上式也成立，a－槡2=(槡2－1)(a－槡2)．2n+1n所以an=n－n+2(n=1，2，…)．所以，数列{an－槡2}是首项为2－槡2，公题型2递推公式为an+1=f(n)an．这类题型的解法是把原递推公式转化为比为槡2－1的等比数列，即nan+1an－槡2=槡2(槡2－1)，=f(n)，利用累乘法求解．an∴an的通项公式为2n例5已知数列{an}满足a1=，an+1=an=槡