弹塑性力学讲义 第四章应力应变关系

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1、第四章应力应变关系（本构方程）本章讨论弹性力学的第三个基本规律。应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。ji,j+fi=0ij=(ui,j+uj,i)/2共9个方程，但需确定的未知函数共15个：ui，ij=ji，ij=ji，还需要根据材料的物理性质来建立应力与应变间的关系：ij=ji=fij(kl)第1节应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系1.1应变能U和应变能密度W（比能）如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的，物体

2、无动能，物体发生变形，产生变性能，也无热能耗散，则根据能量守恒，外力实功转化成应变能贮存在弹性体中。外力做实功A：A=U物体的应变能UUWdVVW：应变能密度——单位体积的应变能。1.2应变能密度W与材料的本构关系当外载ffe，FFe缓慢施加过程中，考察外力施加过程中，瞬时iiii1外力功增量变化。Fx3fox1x2在某一时刻t：ffiei、FFiei产生uuiei,ijeiej,ijeiej时刻达到t+t：位移有增量uuiei，应变增量i

3、jeiejAfudVFudS外力功增量：VS：函数增量fudVFudSUWdViiii应变能增量VsVA中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。FudS(u)ndS(u),dVSiiSijijVjiij上式代入外力功增量AV(fiji,j)uidVVjiui,jdVVijijdVVWdVUWijij——W为ij的函数。因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最终应变状态，

4、与变形过2WW程（加载路线）无关，所以W为它的全微分ijij比较上面二式，得：Wf()ijijkl——本构关系（方程）ij适用于各种弹性情况（线性、非线性）由Wijij积分得ijWW0ijij——应变能密度定义式。ij一些书上写为WdWijdij0ijdWWijdijij第2节线弹性体的本构关系2.1各向异性材料在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀和小变形情况,以及当ij=0时ij=0。用指标符号表示：ij=Eijklkl

5、Eijkl共有81个元素（四阶张量常数）。3由于ij=ji，kl=lkEijkl减少为66=36个独立系数，用矩阵表示本构关系{}=[c]{}T112233233112T112233233112C11C12C16CCCC212226CCC6162662WijWkl根据ij，得ijklijklijT则[C]为对称矩阵[C]=[C]。最后Eijkl的独立系数为21个——材料

6、为各向异性线弹性材料。*对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生剪应力。弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可简化[C]中系数。2.2具有一个弹性对称面的材料x3若物体内各点都有这样一个平面，弹性主轴对此平面对称方向其弹性性质相同，则x2称此平面为弹性对称面，垂直弹性对称面的方向称为弹性主轴。x1x3’如取弹性对称面为x1—x2面，x3为弹性主轴或材料主轴，并取另一坐标系x’i，且x’1=x1，x’2=x2，x’3=-x3。4在两个坐标下，弹性关系保持不变，则[C]中元素减少为13个独立

7、系数。Qi’jx1x2x3x’1=x1100x’2=x2010x’3=-x300-1代入i'j'Qi'kQj'lkli'j'Qi'kQj'lkl得x1'x1，x2'x2，x3'x3，x1'x2'x1x2x'x'x3x1，x'x'x3x23132应变分量具有相同关系式。代入两组坐标系下的弹性方程{}=[c]{},比较得C11C12C1300C16CC00C222326C00C3336CCC04445对称C055C66

8、2.3具有三个正交弹性对称面的材料——正交各向异性材料木材、增强纤维复合材料属此种材料。取x1，x2，x3为弹性主轴[C]中独立系数减少为9个：5C11C12C13000CC0002223C00033CC0044对称C055C66特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪应力。2.4横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称若通过