《弹塑性力学》第四章 应力应变关系（本构方程）

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1、§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系第四章应力应变关系（本构方程）§4-2线弹性体的本构关系§4-3各向同性材料弹性常数8/14/20211本章讨论弹性力学的第三个基本规律。应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。ji,j+fi=0ij=(ui,j+uj,i)/2第四章应力应变关系（本构方程）8/14/20212共9个方程，但需确定的未知函数共15个：ui，ij=ji，ij=ji，ij=ji=fij(kl)第四章应力应变关系（本构方程）还需要根据材料的物理

2、性质来建立应力与应变间的关系：8/14/20213§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系1.1应变能U和应变能密度W（比能）如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的，物体无动能，物体发生变形，产生变形能，也无热能耗散，则根据能量守恒，外力实功转化成应变能贮存在弹性体中。8/14/20214§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系外力做实功A：A=U物体的应变能UW：应变能密度——单位体积的应变能。8/14/20215§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系1.2应变能密度W与材料的本构关系当外载，缓慢施加过程中，考察外力施加过程中，瞬时外力功增量变

3、化。x2x1x3oFf8/14/20216§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系在某一时刻t：产生应变能密度W的表达式？8/14/20217§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系时刻达到t+t：位移有增量应变增量外力功增量：8/14/20218§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系：函数增量应变能增量A中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。8/14/20219§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系代入外力功增量8/14/202110——W为ij的函数。§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系8

4、/14/202111因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最终应变状态，与变形过程（加载路线）无关，所以W为它的全微分§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系8/14/202112比较上面二式，得：——本构关系（方程）适用于各种弹性情况（线性、非线性）§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系8/14/202113由积分得——应变能密度定义式。§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系8/14/202114§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系应变能密度定义式一些书上写为ijijijdijdWWij8/14/202115§4-2线

5、弹性体的本构关系2.1各向异性材料在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀和小变形情况,以及当ij=0时ij=0。用指标符号表示：ij=EijklklEijkl共有81个元素（四阶张量常数）。由于ij=ji，kl=lk8/14/202116§4-2线弹性体的本构关系{}=[c]{}Eijkl减少为66=36个独立系数，用矩阵表示本构关系2.1各向异性材料8/14/202117§4-2线弹性体的本构关系{}=[c]{}2.1各向异性材料8/14/202118§4-2线弹性体的本构关系根据，得则[C]为对称矩阵[C]=[C]T。2.1各向异

6、性材料8/14/202119§4-2线弹性体的本构关系2.1各向异性材料*对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生剪应力。弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可进一步简化[C]中系数。Eijkl的独立系数为21个——材料为各向异性线弹性材料。8/14/202120§4-2线弹性体的本构关系2.2具有一个弹性对称面的材料x2x1x3弹性主轴若物体内各点都有这样一个平面，对此平面对称方向其弹性性质相同，则称此平面为弹性对称面，垂直弹性对称面的方向称为弹性主轴。8/14/202121§4-2线弹性体的本构关系如取弹性对称面为x1—x2面，x3

7、为弹性主轴或材料主轴，并取另一坐标系x’i，且x’1=x1，x’2=x2，x’3=-x3。在两个坐标下，弹性关系保持不变，则[C]中元素减少为13个独立系数。x2x1x3弹性主轴x3’8/14/202122§4-2线弹性体的本构关系Qi’jx1x2x3x’1=x1100x’2=x2010x’3=-x300-1代入得8/14/202123§4-2线弹性体的本构关系应变张量具有相同关系。8/14/202124§4-2线弹性体的本构关系代入两组坐标系下的弹性方程{}=[c]{},比较得8/14/202125§4-2线弹性体的本构关系2.3具有三个正交弹性对称面的材

8、料——正交各向异性材料木