微积分教学ppt课件

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1、利用直角坐标系计算二重积分小结　思考题作业利用极坐标系计算二重积分doubleintegral二重积分的换元法﹡第二节二重积分的计算法如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得.先对y后对x的二次积分(累次积分)如果积分区域为：［Y－型］Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.解积分区域如图解积分区域如图解原式交换积分次序的步骤(1)将已给的二

2、次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;解先y后x解解解曲面围成的立体如图.例求由下列曲面所围成的立体体积，例求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及解求所围成的立体的体积.补充轮换对称性结论:若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则证所以,例二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］二、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式(２)区域特征如图极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积

3、分的公式（３）区域特征如图解计算所围成的平面闭区域.例及直线解解解夹逼定理解双纽线因被积函数D2极坐标计算例分析故的在积分域内变号.D1例求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解由对称性可知只需求第一卦限部分体积V1,xzoy2a被积函数(曲顶)为:积分区域(底)为:二重积分的计算规律再确定交换积分次1.交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域D的不等式,并画D的草图;序后的积分限;2.如被积函数为圆环域时,或积分域为圆域、扇形域、则用极坐标计算;小结3.注意利用对称性质,数中的绝对值符号.以便简化计算;4.被积函数中含有绝对值符号时,应将积分域分割成几个子域,使被积函数在每个子

4、域中保持同一符号,以消除被积函oxy解将直角坐标系下累次积分:化为极坐标系下的累次积分.原式=练习计算解积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.原式=记D1为D的y≥0的部分.则D1练习练求证左边的累次积分中,提示不能直接计算，是y的抽象函数,证毕.要先交换积分次序.证明1990年研究生考题,填空,3分解练习交换积分次序思考题思考题解答解由给出的积分画出相应的积分区域练习思考题思考题解答解