2009-2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(a卷)答案

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1、2009-2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）答案北京交通大学2009‾2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）答案一．（本题满分8分）某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率．解：设事件A={汽车牌照号中含有数字8}，所求概率为P(A)．…………….2分59P()A=1−P()A=1−=.040951．…………….6分510二．（本题满分8分）11设随机事件A，B，C满足：P()()(

2、)A=PB=PC=，P(AB)=0，P()()AC=PBC=．求416随机事件A，B，C都不发生的概率．解：由于ABC⊂AB，所以由概率的非负性以及题设，得0≤P(ABC)()≤PAB=0，因此有P()ABC=0．…………….2分所求概率为P(ABC)．注意到ABC=A∪B∪C，因此有…………….2分P(ABC)=1−P(A∪B∪C)…………….2分=1−P()()()()A−PB−PC+PAB+P(AC)+P(BC)−P(ABC)111113=1−−−+0++−0=．…………….2分4441616

3、8三．（本题满分8分）某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为p，(0

4、型号的电子元件的使用寿命X（单位：小时）具有以下的密度函数：⎧1000⎪x>1000p()x=⎨x2．⎪⎩0x≤1000⑴求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）；⑵已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于2000小时的概率（4分）．解：⑴设A={}电子元件的使用寿命大于1500小时，则+∞+∞+∞100010002P(){A=PX>1500}=p()xdx=dx=−=．…………….4分∫∫2xx3150015001500⑵设B={}电子元件的使用寿命大于20

5、00小时，则所求概率为P(BA)．P()ABP{}X>1500,X>2000P{X>2000}P()BA===．…………….2分P()AP()AP()A+∞+∞+∞100010001而P{}X>2000=p(x)dx=dx=−=，∫∫2xx22000200020001P{}X>200023所以，P()BA===．…………….2分P()A243五．（本题满分8分）设随机变量X服从区间[−,12]上的均匀分布，而随机变量⎧1X>0Y=⎨．⎩−1X≤0求数学期望E()Y．解：第2页共7页2009-2010

6、学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）答案E()Y=1×P{Y=1}(){+−1×PY=−1}…………….2分=1×P{}X>0+(−1){×PX≤0}…………….2分+∞02011=p()xdx−p()xdx=dx−dx∫X∫X∫∫330−∞0−1211=−=．…………….4分333六．（本题满分8分）设在时间t（分钟）内，通过某路口的汽车数X(t)服从参数为λt的Poisson（泊松）分布，其中λ>0为常数．已知在1分钟内没有汽车通过的概率为2.0，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率

7、．解：()kλt−λtX()t的分布列为P{}X()t=k=e，(k=,0,1,2L)．…………….2分k!因此在t=1分钟内，通过的汽车数为kλ−λP{}X()1=k=e，()k=,0,1,2L．k!−λ由题设，P{}X()1=0=e=2.0，所以λ=ln5．…………….3分()02⋅5−2λ−2ln5124因此，P{}(X()2≥1=1−P{}X2)=0=1−e=1−e=1−=．…………….3分!02525七．（本题满分8分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎧10

8、()x,y=⎨⎩0其它求：⑴随机变量Y边缘密度函数f()y（4分）；⑵方差D(Y)（4分）．Y解：+∞⑴f()y=f(x,y)dx．Y∫−∞因此，当y≤0或者y≥2时，f(y)=0．…………….1分Y当0