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1、2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷(A卷)答案Page9of9北京交通大学2013~2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)参考答案一.(本题满分8分)某中学学生期末考试中数学不及格的为,语文不及格的为,两门课程都不及格的为.⑴已知一学生数学考试不及格,求他语文考试也不及格的概率(4分);⑵已知一学生语文考试不及格,求他数学考试及格的概率(4分).解:设“某学生数学考试不及格”,“某学生语文考试不及格”.由题设,,,.⑴所求概率为.⑵所求概率为.二.(本题满分8分)两台车床加工同样的零件,第一台车床加工出现不合格品的概率为
2、0.03,第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05;把两台车床加工的零件放在一起,已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍.现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件,发现是不合格品,求这个零件是第二台车床加工的概率.解:设“任取一个零件是不合格品”,“任取一个零件是第一台车床加工的”.所求概率为.由Bayes公式得第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷(A卷)答案Page9of9.三.(本题满分8分)设随机变量的密度函数为.⑴求常数(3分);⑵现对独立重复地观察4次,用表示观察值大于的次数,求(5分).解:⑴由密度
3、函数的性质,,得,因此,.⑵由于.所以,随机变量的分布列为,.所以.四.(本题满分8分)在正方形中任取一点,求使得方程有两个实根的概率.解:第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷(A卷)答案Page9of9设“方程有两个实根”,所求概率为.设所取的两个数分别为与,则有,.因此该试验的样本空间与二维平面点集中的点一一对应.随机事件与二维平面点集,即与点集中的点一一对应.所以,.五.(本题满分8分)一个工厂生产某种产品的寿命(单位:年)的密度函数为.该工厂规定:该产品在售出的一年内可予以调换.若工厂售出一个该产品,赢利100元,而调换
4、一个该产品,需花费300元.试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望.解:设为工厂售出一个产品的净赢利,则所以,第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷(A卷)答案Page9of9六.(本题满分9分)设是由轴、轴及直线所围成的三角形区域,二维随机变量在内服从均匀分布.求与的相关系数.解:由于区域的面积为1,因此的联合密度函数为.当时,,所以,.当时,,所以,.,,,,所以,,第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷(A卷)答案Page9of9,,,所以,..七.(本题满分9分)某餐厅每天接待位顾客,假设
5、每位顾客的消费额(单位:元)服从区间上的均匀分布,并且每位顾客的消费额是相互独立的.试求:⑴该餐厅每天的平均营业额(3分);⑵用中心极限定理计算,该餐厅每天的营业额在其平均营业额的元之间的概率(6分).(附:标准正态分布的分布函数的某些取值:解:⑴设表示第位顾客的消费额,.则有相互独立,,.所以,,.再设表示餐厅每天的营业额,则.所以,(元).⑵由独立同分布场合下的中心极限定理,有第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷(A卷)答案Page9of9.八.(本题满分8分)设总体服从参数为的几何分布,其分布律为.其中是未知参数,.是取自
6、该总体中的一个样本.试求参数的极大似然估计量.解:似然函数为所以,.所以,,解方程,得.因此的极大似然估计量为.九.(本题满分8分)设总体存在二阶矩,记,,是从该总体中抽取的一个样本,是其样本均值.求(4分)及(4分).解:,第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷(A卷)答案Page9of9.十.(本题满分9分)两台相同型号的自动记录仪,每台无故障工作的时间分别为和,假设与相互独立,都服从参数为的指数分布,其密度函数为.现首先开动其中一台,当其损坏停用时另一台自动开动,直至第二台记录仪损坏为止.令::从开始到第二台记录仪损坏时记录
7、仪的总共工作时间,试求随机变量的概率密度函数.解:的密度函数为,的密度函数为由题意,知,设的密度函数为,则作变换,则,当时,;当时,.代入上式,得当时,由,知;当时,综上所述,可知随机变量的密度函数为.十一.(本题满分9分)第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷(A卷)答案Page9of9设总体服从指数分布,其概率密度函数为,是取自该总体中的一个样本.⑴求出统计量的密度函数,并指出该分布是什么分布?⑵求常数,使得为的无偏估计.解:①由于总体的密度函数为,因此其分布函数为.所以的密度函数为,.即随机变量服从参数为的指数分布.②由于随
8、机变量服从
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