2013-2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(a卷)答案

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1、2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page9of9北京交通大学2013~2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）参考答案一．（本题满分8分）某中学学生期末考试中数学不及格的为，语文不及格的为，两门课程都不及格的为．⑴已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）．解：设“某学生数学考试不及格”，“某学生语文考试不及格”．由题设，，，．⑴所求概率为．⑵所求概率为．二．（本题满分8分）两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为

2、0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率．解：设“任取一个零件是不合格品”，“任取一个零件是第一台车床加工的”．所求概率为．由Bayes公式得第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page9of9．三．（本题满分8分）设随机变量的密度函数为．⑴求常数（3分）；⑵现对独立重复地观察4次，用表示观察值大于的次数，求（5分）．解：⑴由密度

3、函数的性质，，得，因此，．⑵由于．所以，随机变量的分布列为，．所以．四．（本题满分8分）在正方形中任取一点，求使得方程有两个实根的概率．解：第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page9of9设“方程有两个实根”，所求概率为．设所取的两个数分别为与，则有，．因此该试验的样本空间与二维平面点集中的点一一对应．随机事件与二维平面点集，即与点集中的点一一对应．所以，．五．（本题满分8分）一个工厂生产某种产品的寿命（单位：年）的密度函数为．该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换

4、一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望．解：设为工厂售出一个产品的净赢利，则所以，第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page9of9六．（本题满分9分）设是由轴、轴及直线所围成的三角形区域，二维随机变量在内服从均匀分布．求与的相关系数．解：由于区域的面积为1，因此的联合密度函数为．当时，，所以，．当时，，所以，．，，，，所以，，第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page9of9，，，所以，．．七．（本题满分9分）某餐厅每天接待位顾客，假设

5、每位顾客的消费额（单位：元）服从区间上的均匀分布，并且每位顾客的消费额是相互独立的．试求：⑴该餐厅每天的平均营业额（3分）；⑵用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在其平均营业额的元之间的概率（6分）．（附：标准正态分布的分布函数的某些取值：解：⑴设表示第位顾客的消费额，．则有相互独立，，．所以，，．再设表示餐厅每天的营业额，则．所以，（元）．⑵由独立同分布场合下的中心极限定理，有第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page9of9．八．（本题满分8分）设总体服从参数为的几何分布，其分布律为．其中是未知参数，．是取自

6、该总体中的一个样本．试求参数的极大似然估计量．解：似然函数为所以，．所以，，解方程，得．因此的极大似然估计量为．九．（本题满分8分）设总体存在二阶矩，记，，是从该总体中抽取的一个样本，是其样本均值．求（4分）及（4分）．解：，第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page9of9．十．（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为和，假设与相互独立，都服从参数为的指数分布，其密度函数为．现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：：从开始到第二台记录仪损坏时记录

7、仪的总共工作时间，试求随机变量的概率密度函数．解：的密度函数为，的密度函数为由题意，知，设的密度函数为，则作变换，则，当时，；当时，．代入上式，得当时，由，知；当时，综上所述，可知随机变量的密度函数为．十一．（本题满分9分）第9页共9页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page9of9设总体服从指数分布，其概率密度函数为，是取自该总体中的一个样本．⑴求出统计量的密度函数，并指出该分布是什么分布？⑵求常数，使得为的无偏估计．解：①由于总体的密度函数为，因此其分布函数为．所以的密度函数为，．即随机变量服从参数为的指数分布．②由于随

8、机变量服从