学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷a卷答案

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1、2010-2011学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8一．（本题满分8分）在正方形中任取一点，求使得方程有两个实根的概率．解：设“方程有两个实根”，所求概率为．设所取的两个数分别为与，则有，．因此该试验的样本空间与二维平面点集中的点一一对应．…………………………………2分随机事件与二维平面点集，即与点集…………………2分中的点一一对应．所以，．…………………4分二．（本题满分8分）从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有是质量问题；有是数量短缺问题；有是产品包装问题．又知

2、在质量问题的争议中，经过协商解决的占；在数量短缺问题的争议中，经过协商解决的占；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占．如果在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？解：设“事件属于质量问题”，“事件属于数量短缺问题”，“事件属于产品包装问题”．“事件经过协商解决”．所求概率为．…………………2分由Bayes公式，得…………………2分第8页共8页2010-2011学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8．…………………2分所以，．…………………2分三．（

3、本题满分8分）设随机事件满足：．证明：对任意随机事件，有．解：因为，所以，．…………………2分所以，对任意的随机事件，由，以及概率的单调性及非负性，有，因此有．…………………2分所以，对任意的随机事件，由，以及与的互不相容性，得．………………4分四．（本题满分8分）设随机变量的密度函数为，并且已知，试求方差．解：由及，得，…………………2分．…………………2分由此得线性方程组．解此线性方程组，得．…………………2分第8页共8页2010-2011学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8所以

4、，，所以，．…………………2分五．（本题满分8分）经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为．某餐厅有个座位，但预定给了位顾客，问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少？解：设表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数，则．…………1分则所求概率为．…………………2分…………………2分．…………………3分六．（本题满分10分）将一颗均匀的骰子独立地掷次，令表示这次出现的点数之和，求（5分）与（5分）．解：设表示第次出现的点数，．则相互独立，而且．而的分布列为，．…………………2分所以，，．…………………2分所以，

5、由数学期望的性质，得．…………………2分第8页共8页2010-2011学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8，．…………………2分所以，由的相互独立性，及数学期望的性质，得．…………………2分七．（本题满分10分）设随机变量，求随机变量的密度函数．解：由题意，随机变量的密度函数为，．………1分设随机变量的分布函数为，则有，…………………2分所以，当时，；…………………1分当时，…………………2分因此有，…………………2分所以，随机变量的密度函数为第8页共8页2010-2011学年第二学

6、期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8．…………………2分八．（本题满分10分）设二维随机变量的联合密度函数为，求与的相关系数．解：，，…………………2分，，…………………2分，所以有，…………………2分，，…………………2分因此，有第8页共8页2010-2011学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8．…………………2分九．（本题满分10分）一生产线生产的产品成箱包装，假设每箱平均重，标准差为．若用最大载重量为的汽车来承运，试用中心极限定理计算每辆车最多装多少箱，

7、才能保证汽车不超载的概率大于（设，其中是标准正态分布的分布函数）．解：若记表示第箱的重量，．则独立同分布，且，．…………………2分再设表示一辆汽车最多可装箱货物时的重量，则有．由题意，得．…………4分查正态分布表，得，…………………2分当时，；时，，故取，即每辆汽车最多装箱货物．…………………2分十．（本题满分8分）设总体，是取自该总体中的一个样本．令，试确定常数，使得随机变量服从分布．解：因为，，而且相互独立，所以，．…………………2分因此第8页共8页2010-2011学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A

8、卷）答案Page8of8，．…………………2分而且与相互独立．因此由分布的定义，知，…………………2分即．取，则有．…………………2分十一．（本题满分12分）设总体的密度函数为，其中为参数，是从总体中抽取的一个简单随机样本．⑴求参数的矩估计量（6分）；⑵求参数的最大似然估计量（6分）．证明：⑴，…………………3分因此，得方程，解方程，得，将替换