2013-2014学年第二学期概率论与数理统计阶段测验(一)试卷答案

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1、2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8北京交通大学2013~2014学年第二学期概率论与数理统计阶段测验（一）参考答案一．（本题满分8分）将12本各不相同的书籍放在书架的一层上，求指定的4本书放在一起的概率．解：设，求．本不同的书籍放在书架的一层上，有不同的放法种（样本点总数）．将指定的本书看成一本，再与其它的本书一起放，有放法种；再，指定的本书有放法，因此事件含样本点数为个．所求概率为．二．（本题满分8分）已知甲袋中装有2个红球、5个白球；乙袋中装有4个红球、3个白球．现掷一颗均匀的骰子，若所得点数能被3

2、整除，则从乙袋中取出一球，否则从甲袋中取出一球．⑴.计算所取的球为红球的概率（4分）；⑵.已知所取的球为红球，球该球是从甲袋中取出的概率（4分）．解：设，，⑴.由全概率公式，得⑵.由Bayes公式，得第8页共8页2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8三．（本题满分8分）一实习生用同一台机器独立地制造个同种零件，第个元件是不合格品的概率为，以表示个零件中合格品的个数，求．解：设，．则，而且相互独立，以及所以，．四．（本题满分8分）有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯．如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出

3、来，算是成功一次．⑴.某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少（3分）？⑵.某人声称他通过品尝能区分两种酒．他连续试验10次，成功3次．试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）（5分）．解：⑴.设，则有⑵.设：试验10次成功的次数，则第8页共8页2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8由于因此随机事件是一个小概率事件，根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理，随机事件是不大可能发生的，但它却发生了，因此我们可以断定此人确有区分酒的能力．五．（本题满分8分）将一个表面涂有颜色

4、的正方体等分为1000个小正方体，从这些小正方体中任取一个．令表示所取的小正方体含有颜色的面数，⑴求的分布列（5分）；⑵求概率（3分）．解：⑴的取值为．，，，．所以，的分布列为⑵．六．（本题满分8分）设离散型随机变量的可能取值为，其相应的概率分别为，．其中为参数．求常数．解：由第8页共8页2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8所以，．七．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间（单位：分钟）服从的指数分布，如果他候车时间超过分钟，他就改为步行上班．求他一周天上班时间中至少有天

5、需要步行的概率．解：的密度函数为．设“候车时间超过5分钟”，则．设：一周5天中他需要步行上班的天数．则，因此所求概率为．八．（本题满分8分）设连续型随机变量的分布函数为，．试求：⑴.系数与；⑵.概率．解：第8页共8页2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8⑴.由，，得，．解方程组，得，所以，⑵.九．（本题满分9分）从这个数字中任意取出个数字，并将其按照大小排列，得：，令随机变量．求随机变量的⑴分布律（5分）；⑵分布函数（4分）．解：随机变量的取值为．从6个不同的数字中任意取出3个，有取法种，由此得，，，．因此

6、随机变量的分布列为第8页共8页2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8的分布函数为．十．（本题满分9分）设在时间（分钟）内，通过某路口的汽车数服从参数为的Poisson（泊松）分布，其中为常数．已知在1分钟内没有汽车通过的概率为，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率．解：的分布列为，．因此在分钟内，通过的汽车数为，．由题设，，所以．因此，．十一．（本题满分9分）甲袋中有个黑球和个白球，乙袋中有个白球．每次从甲、乙两个袋中各任取一球，交换后放入另一个袋中．求这样交换次后，黑球仍在甲袋中的概率．解：设“第次交换后

7、黑球在甲袋中”，并设，．由全概率公式，得第8页共8页2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8．而，代入上式，得．十二．（本题满分9分）设随机变量，求随机变量的密度函数．解：的密度函数为，．所以，随机变量的分布函数为．所以，当时，；当时，，第8页共8页2013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of8即，对求导，得随机变量的密度函数为．第8页共8页