概率论与数理统计测验三答案

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1、第三章测验题答案第三章测验题答案(2010-05-11)班级______姓名______学号______做题时间____分钟********************************************************************************************一.填空(共17分)1.（5分）设随机变量且，则=.解：因为，属离散型随机变量，故.由题设条件可知，所以又因为所以=.2.（12分，每空2分）根据定义完成下列各式：二.选择(共20分，每题5分)1.设随机变

2、量X的绝对值不大于1，且，则[A](A)0.625(B)0.5(C)0.425(D)0.375解：因为随机变量X的绝对值不大于1，所以必定有X的所有取值只可能在-1到1之间，即，所以2.设X与Y相互独立且同分布，，，在下列各式中成立的是[A](A)(B)(C)(D)解：因为所以X和Y的取值只能是1或-1，因此利用X与Y的边缘分布律和两者独立性的条件可知(X,Y)的联合分布律，如下表所示：XY-11-111因此，故选项(A)正确，(B)错误；6第三章测验题答案，故选项(C)错误；，故选项(D)错误.1.已知，且

3、，则[C].(A)(B)(C)(D)解：本题关键是分析max函数的含义，从而利用概率的加法公式来解.具体过程如下：2.设随机变量，则随着的增大，[].(A)增大(B)减小(C)保持不变(D)增减不定解：，与无关，所以选(C).一.解答题（请写明求解过程，共63分）1.（18分，每小题6分）已知随机变量X的分布函数为求(1)A;(2);(3).解：(1)利用分布函数的右连续性可知，在点，右连续性表现为，根据定义可知，当时，，所以左边==，右边，故A=1.所以得到6第三章测验题答案(2)注意到这个在整个实轴都是连

4、续的，根据第二章的结论：只要分布函数是连续函数，那么随机变量在单点处的概率就为0，因此有=.(3)已知分布函数求概率密度，只需要在密度函数的连续点处对x求导即可：因此有（此题没有无定义的点，否则需要修改相应区间，例如第二章测验解答题第一题.）1.（15分）某元件寿命X服从参数为的指数分布，则三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？解：随机变量X表示元件寿命，由题意可知其概率密度为又因为即元件能够使用超过1000小时的概率是，又因为三个元件的寿命是相互独立的，所以最后所求概率值即为.2.（10

5、分）已知二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为求(X,Y)的关于Y的边缘密度函数.解：通过以下四个步骤求边缘密度：6第三章测验题答案①写定义：②定区间：③化积分：④求积分：.1.（10分）设求的概率密度函数.解：因为所以有因为函数是严格单调函数，所以可以利用书中第52页定理直接求Y的密度函数.，且所以.　又注意到，所以由定理可知（10分）已知(X,Y)的概率密度为求.解：本题所求的是二维随机变量(X,Y)落在某区域中的概率，则现要将此二重积分化成累次积分，则要确定这个区域与的区域的交集，如下图所示故一.选做题

6、(10分,100分以外)设(X,Y)的分布函数为,求(1)A,B,C;(2);(3)X和Y是否相互独立？解：(1)法一：利用二维随机变量的分布函数的性质：6第三章测验题答案得到.由(3)式可知，.又因为,　所以故　则又（１）（２）式可知．因此．法二：利用一维随机变量的分布函数的性质来做：因为边缘分布作为一维随机变量的分布函数是满足上述性质的，故解此方程组得到.(2)(3)要判断独立性，就要先求边缘分布；法一：因为此题给出的条件是分布函数，所以这里我们先求X和Y的边缘分布函数.根据分布函数的定义，我们有6第三章

7、测验题答案所以对任意的x,y,有成立，故X与Y独立.法二：利用第(2)题联合密度求边缘密度后，判断是否独立.，故X与Y独立.6