第十讲综合性问题

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1、第十讲综合性问题陕西特级教师安振平l高考风向标高考数学跨章节的综合性问题的命题方向一般是：三角函数与向量，解析几何与向量，函数与向量，函数与不等式，概率与实际应用性问题，递推数列与不等式证明，解析几何与数列等等．l典型题选讲例1　已知向量，，，其中．　　（１）当时，求值的集合；　　（２）求的最大值．讲解　（１）由，得，即．则　　　，　　　得　　　　．　　∴　为所求．　　（２），　　所以有最大值为3．点评　向量与三角函数的结合是高考命题的一个亮点，２００４年的高考当中已经有类似的考题．例2已知函数的定义域为

2、，且.设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．（1）求的值；（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值．讲解（1）∵，∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12（2）设点的坐标为，则有，，由点到直线的距离公式可知：，故有，即为定值，这个值为1.（3）由题意可设，可知.∵与直线垂直，∴，即，解得，又，∴.∴，，∴，当且仅当时，等号成立．∴此时四边形面积有最小值．点评　本题是２００５年上海市春季高考试题，它将函数

3、、解析几何与不等式综合，题目新颖，但并不是难题．＂对号＂函数是历年高考命题的热门话题．例３　已知，奇函数在上单调．（1）求的值及的范围；（2）设，且满足，求证：．讲解　（1）因为，为奇函数，恒成立，．又在上单调，若在上单调递减，则恒成立但在　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12上不恒成立；若在上单调递增，则恒成立．在上最小值为，故只要，即．综上可知，，．（2）假设，若，由（1）知在上单调递增，则且有，与矛盾；若，同理有且有，与矛盾；所以假设错误．因此．点评　第（2）小题也可以给出下面的证明：由

4、（1）知．设，由有于是两式相减，得　，　即．即．　　　请你思考：哪一个证法比较简单呢？　　　例４　M(互相垂直的弦MP、MQ，求证：PQ恒过定点M'（（2）直线点M，使得△MPQ为以PQ为斜边的直角三角形？　　　讲解（1）设PQ的方程为，得，于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12其中．，即，∴，直线PQ的方程为　　　即　．（2）设M（上，所以的解，消去x得．　　点评　　消元思想是解答解析几何试题的基本方法，它的程序是：代入消元，产生一元二次方程，韦达定理，判别式等．例５　

5、已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上．（１）求数列的通项公式；（２）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（３）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围．讲解　（１）将点代入中得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12（２）（３）由，　　点评　　解析几何中曲线上的点列是高考的命题的一个新的亮点，而这种题型已经是上海高考命题的一个热点．针对性演练1.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，

6、将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金()A．大于B．小于C．大于等于D．小于等于2.在数列中，如果存在非零常数，使得对于任意的非零自然数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫数列的周期。已知数列满足，如果，当数列的周期最小时，该数列前2005项的和是()A．668B．669C．1336D．1337EABCD1.如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝300，AC、BC边上的高分别为

7、BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为()A.B.1C.2D.22.在空间直角坐标系O－xyz中，有一个平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为()A.B.2C.D.23.如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线4.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：行业名称计算机机械营销物流贸

8、易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436根据表中的数据，将各行业按就业形势由差到好排列，其中排列正确的是（）A.计算机，营销，物流B.机械，计算机，化工C.营销，贸易，建筑D.机械，营销，建筑，化工5.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫