北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之函数与导数word含解析

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1、【西城一模】18.（本小题满分13分）已知函数/（X）=ev•（d+丄+In兀），其中aeR.x（I）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=~—垂直，求q的值;e（II）当6ze（0,ln2）时，证明：/（Q存在极小值.解：(I)f(兀)的导函数为Ax)=ex•(a+-+Inx)+eA•(1-4)XXX"2I=e'-(a++Inx).［2分］x依题意，有/'(l)=e・(a+l)=e,［4分］解得a=0.［5分］21?I(II)由/"(x)=e*・(°+Inx)及e'>0知，fx)与a+Inx冋号.xx"XX"21令g(x)=a++l

2、nx,［6分］XJT则g©)」一2“2占1广+1.圄分］XX所以对任意xg（0,+oo）,有g©）＞0,故gCr）在（0,2）单调递增.[9分]因为aw(0,ln2),所以g(l)=a+l>0,^(-)=6/+ln-<0,22故存在兀使得^（xo）=O.[11分]f（x）与、厂（兀）在区间（£,1）上的情况如下：X（£，兀0）(心1)广（兀）——0+/（X）X极小值/所以/（X）在区间（

3、,勺）上单调递减，在区间（勺,1）上单调递增.所以/（兀）存在极小值/（Xo）.[13分]【朝阳一模】18.(本小题满分13分)已知函数/(x)=~-ax.

4、x(丨)当a=2时，(i)求曲线y=/(无)在点(1,/(1))处的切线方程;(ii)求函数/(x)的单调区间；(II)若1vov2，求证：f(x)<-1.(I)当d=2卩寸，/(x)=~--2x.x止)=冲-2=2一2八1“x2(i)可得/'(1)=0,又/(1)=-3,所以/(劝在点(1,-3)处的切线方程为尸—3.....3分(ii)在区间(0,1)±2-2r>0,且一Inx>(),则fx)>0.在区间(±2-2x2<0,且一InjcvO,则fx)<0.所以/(兀)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(l,+oo)8分(II)

5、由兀>0,/(x)<-1,等价于~-ax<-,等价于or，—兀+1—ln;i>0.x设h(x)=ax1-x+1-Inx,只须证h(x)>0成立.12仇x?—x—1因为/『(兀)=2必一1—丄=—,1vgv2,XX由hx)=0,得2cix2-x-=0有异号两根.令其正根为X。，贝1」2弧2_兀0-1=0.在(0,兀0)上hx)<0,在(兀0，+°°)上hf(x)>0.则h(x)的最小值为h(xQ)=喝一兀°+1-Inx0—兀°+1—xq3-兀()2-lnx()•)0「以—O,-lnxo>0.213分因此3%_In

6、兀>0,即/?(x0)>0.所以h(x)>0所以/(尢)v—1•【丰台一模】（18）（本小题共13分）已知函数/（x）=ev-6/（lnx+l）（6ZGR）.（I）求函数y=/（兀）在点（1,/（1））处的切线方程；（II）若函数y=/（x）在（丄,1）上有极值，求Q的取值范围.（18）（本小题共13分）解：函数于(兀)的定义域为(0,+oo),f(x)=ex-~.1分X(I)因为/(I)=e-tz,/'(l)=e-d,3分所以曲线y=/(x)在点(lj(l))处的切线方程为y-(e-^)=(e-a)(x—1),即y=(e-6z)x・(idf

7、x)=e--.X（i）当dSO吋，对于任意XG（pl）,都有f（X）＞0,所以函数/（兀）在（丄,1）上为增函数，没有极值，不合题意.82（ii）当a＞0时，令g（x）=ev,则g‘（兀）二e"+弓〉0.9所以g（x）在（丄,1）上单调递增，即/©）在（丄,1）上单调递增，10分所以函数/（兀）在（*，1）上有极值，等价于＜12分e—a>0,所以厂Je—2a<0.所以丰

8、时，若函数/(兀)的最大值为，求a的值.18.(本题满分13分)InX(I)当d=o时，f(x)=—X令广(兀)>°，得0v兀ve故/(x)的单调递增区间为(0，e)x+a.fa.(II)方法1：Inx1Inx广(兀)=—l=兀°(X+d)2(X+d)~令g(x)=1+—-lnx，/、alx+a八贝】Jg(兀)二7__=<0XXXrhg(e)二兰>0,&2曲)=1+為一(1+0)=0.(丄一1)<0eee故存在xog(e,eiZ+l),gO())=0故当xe(O,xo)时，g(x)>0；当xg(x0,-Ko)时，g(x)<0X(0,x())(

9、兀0，+°°)fx)+0—fM/极大值故g詁,解得故Q的值为e?・13分(II)方法2:/⑴的最大值为亠的充要条件为对任意的XG(0,+oo),-^<4且存e'x