极坐标与参数方程综合运用题型一

极坐标与参数方程综合运用题型一

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1、极坐标与参数方程综合运用题型(一)【题型分析】题型一圆上的点到直线距离的最值【例1】已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ﹣),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值.解:(Ⅰ)即ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),∴x2+y2﹣2x﹣2y=0,故C2的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.(Ⅱ)∵曲线C1的参数方程为,∴C1的直角坐标方程为,由(Ⅰ)知曲线C2是以(1,1)为圆心的圆,且圆心到直线C1的距离,∴动点M到曲线C1的距离的最大值为【变式实

2、践1】1.已知曲线C1:,曲线:(t为参数)(I)化C1为直角坐标方程,化C2为普通方程;(II)若M为曲线C2与x轴的交点,N为曲线C1上一动点,求

3、MN

4、的最大值.解:(I)曲线C1的极坐标化为ρ2=2ρsinθ,又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ所以曲线C1的直角坐标方程x2+y2﹣2y=0,因为曲线C2的参数方程是,消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y﹣8=0(II)因为曲线C2为直线,令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0)曲线C1为圆,其圆心坐标为C1(0,1),半径r=1,则13∴,

5、MN

6、的最大值为2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处

7、,极轴与x轴的正半轴重合,直线的极坐标方程为:,曲线C的参数方程为:(α为参数).(I)写出直线的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的点到直线的距离的最大值.解:(1)∵直线l的极坐标方程为:,∴ρ(sinθ﹣cosθ)=,∴,∴x﹣y+1=0.(2)根据曲线C的参数方程为:(α为参数).得(x﹣2)2+y2=4,它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线的距离为:d=,∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=.3.已知在平面直角坐标系xOy中,直线的参数方程是(t是参数),以原点O为极点,Ox为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为.(1)求圆心C的直角坐标;(2)由直线

8、上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.解:(1)由圆C的极坐标方程ρ=2cos(θ+),化为,展开为ρ2=,化为x2+y2=.平方为=1,∴圆心为.(2)由直线l上的点向圆C引切线长==≥5,∴由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为5.题型二利用三角函数求最值【例2】在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为(α为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.13解:(1)把极坐标系下的

9、点P化为直角坐标得P(0,4),∵P(0,4)满足方程x-y+4=0,∴点P在直线l上.(2)因为点Q是曲线C上的点,故可设点Q的坐标为(cosα,sinα),所以点Q到直线l的距离d==(α∈R)则当cos=-1时,d取得最小值.【变式实践2】1.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为:(α为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为:.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)若P,Q分别是曲线C1和C2上的任意一点,求

10、PQ

11、的最小值.解:(1)∵ρ=cosθ,∴x2+y2=x,即(x-)2+y2=.(2)设P(

12、2cosα,sinα),易知C2(,0),∴

13、PC2

14、=== ,当cosα=时,

15、PC2

16、取得最小值,

17、PC2

18、min=,∴

19、PQ

20、min=.2.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为,直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;(2)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线距离的最小值.解:(1)C1:x2+2y2=2,l:y+x=4.(2)设Q(cosθ,sinθ),则点Q到直线l的距离d==≥=,当且仅当θ+=2kπ+(k∈Z),即θ=2kπ+(k∈Z)时取等号.3.以平面直角坐标系的原点为极点,以x

21、轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线C的参数方程为(α是参数),直线l的极坐标方程为ρcos=2.(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(2)设点P为曲线C上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.13解:(1)∵直线l的极坐标方程为ρcos=2,∴ρ=2,∴x-y=2,即直线l的直角坐标方程为x-y-4=0.由得+=1,即曲线C的普通方程为+=1.(2)设点P(2cosα,sinα),则点P到直线l的距离d==,其中tanφ=.当cos(α+φ)=-1时,dmax=,

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