极坐标与参数方程综合运用题型一

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1、极坐标与参数方程综合运用题型(一)【题型分析】题型一圆上的点到直线距离的最值【例1】已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值．解：（Ⅰ）即ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），∴x2+y2﹣2x﹣2y=0，故C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）∵曲线C1的参数方程为，∴C1的直角坐标方程为，由（Ⅰ）知曲线C2是以（1，1）为圆心的圆，且圆心到直线C1的距离，∴动点M到曲线C1的距离的最大值为【变式实

2、践1】1．已知曲线C1：，曲线：（t为参数）（I）化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；（II）若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求

3、MN

4、的最大值．解：（I）曲线C1的极坐标化为ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ所以曲线C1的直角坐标方程x2+y2﹣2y=0，因为曲线C2的参数方程是，消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y﹣8=0（II）因为曲线C2为直线，令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）曲线C1为圆，其圆心坐标为C1（0，1），半径r=1，则13∴，

5、MN

6、的最大值为2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处

7、，极轴与x轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线的距离的最大值．解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．3．已知在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线

8、上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．解：（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），化为，展开为ρ2=，化为x2+y2=．平方为=1，∴圆心为．（2）由直线l上的点向圆C引切线长==≥5，∴由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为5．题型二利用三角函数求最值【例2】在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．13解：(1)把极坐标系下的

9、点P化为直角坐标得P(0,4)，∵P(0,4)满足方程x－y＋4＝0，∴点P在直线l上．(2)因为点Q是曲线C上的点，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，所以点Q到直线l的距离d＝＝(α∈R)则当cos＝－1时，d取得最小值.【变式实践2】1．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求

10、PQ

11、的最小值．解：(1)∵ρ＝cosθ，∴x2＋y2＝x，即(x－)2＋y2＝.(2)设P(

12、2cosα，sinα)，易知C2(，0)，∴

13、PC2

14、＝＝＝　，当cosα＝时，

15、PC2

16、取得最小值，

17、PC2

18、min＝，∴

19、PQ

20、min＝.2．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线距离的最小值．解：(1)C1：x2＋2y2＝2，l：y＋x＝4.(2)设Q(cosθ，sinθ)，则点Q到直线l的距离d＝＝≥＝，当且仅当θ＋＝2kπ＋(k∈Z)，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时取等号．3．以平面直角坐标系的原点为极点，以x

21、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为(α是参数)，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．13解：(1)∵直线l的极坐标方程为ρcos＝2，∴ρ＝2，∴x－y＝2，即直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.由得＋＝1，即曲线C的普通方程为＋＝1.(2)设点P(2cosα，sinα)，则点P到直线l的距离d＝＝，其中tanφ＝.当cos(α＋φ)＝－1时，dmax＝，