第10章有限元教学ppt课件

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1、第10章有限元方法有限元法的基本概念有限元法的基本原理有限元法的工程应用第一节有限元法的基本概念在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。求解这类场问题的方法主要有两种。解析法数值解法有限差分法有限元法边界元法其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，目前在工程中的应用最为广泛。第10章有限元方法第一节有限元法的基本概念第10章有限元方法所谓连续体是指所求解的对象（物体或结构）。所谓离散化就是将求解的对象划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只

2、通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。因而，相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递，这些有限个单元的集合体即是原来的连续体。离散化也称为划分网格或网络格化。单元划分后，给每个单元及节点进行编号；选定坐标系，计算各个节点坐标；确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。连续化离散化右图是对一悬臂梁建立有限元分析模型的例子，图中将该悬臂梁划分为许多三角形单元，三角形单元的三个顶点都是节点。第一节有限元法的基本概念第10章有限元方法单元分析连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称单元分析。单元分析工作主要有两项：选择单元位移模式（位移函数）

3、和分析单元的特性，即建立单元刚度矩阵。根据材料学、工程力学原理可知，弹性连续体在载荷或其他因素作用下产生的应力、应变和位移，都可以用位置移函数来表示，为此，必须用位移函数模拟位移的分布规律根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移来表示单元体内任一点位移的关系式。所以，正确选定单元位移模式是有限元分析与计算的关键。选定好单元位移模式后，即可进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷，采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节点位移与节点力之间的关系矩阵——单元刚度矩阵。第一节有限元法的基本概念第10章有限

4、元方法在对全部单元进行完单元分析之后，就要进行单元组集，即把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各个单元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。整体分析第一节有限元法的基本概念第10章有限元方法确定约束条件有限元方程的求解由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解之前，必须根据具体情况，分析与确定求解对象问题的边界约束条件，并对这些方程进行适当修正。解方程，即可求得各节点的位移，进而根据位移计算单元的应力及应变。第一节有限元法的基本概念第10章有限元方法结果分析与讨论用有限元法求解应力类

5、问题时，根据未知量和分析方法的不同，有如下三种基本解法。（1）位移法。它以节点位移作为基本未知量，选择适当的位移函数，进行单元的力学特性分析，在节点处建立单元刚度方程，再合并组成整体刚度矩阵，求解出节点位移后，由节点位移再求解出应力。位移法的优点是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。所以，该方法得到广泛应用，但其缺点是精度稍低。（2）力法。以节点力作为基本未知量，在节点处建立位移连续方程，求解出节点力后，再求解节点位移和单元应力。力法的特点是计算精度高。（3）混合法。取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知量，建立平衡方程进行求解。第一节有限元法的基本概

6、念第10章有限元方法有限元法的基本思想是把连续的几何结构离散成有限个单元，并在每一单元设定有限个节点，从而将连续体看做仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中有限自由度问题，求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至整个集合体上的场函数。有限元法的基本思想第二节有限元法的基本原理第10章有限元方法用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物

7、理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法的基本原理第10章有限元方法第二节有限元法的基本原理单元划分方法1将连续体离散化是有限元分析的第一步和基础。由于结构物的形状、载荷特性、边界条件等的差异，所以离散化时，要根据设计对象的具体情况，确定单元（

8、网格）的大小和形状、单元的数目以及划分