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1、等参元是目前大型有限元程序中应用最广泛的单元，它不仅能运用于各种曲线边界，而且能够构造出高精度的位移函数，所以广泛地在一维、二维和三维的各类问题中应用。本章以平面问题为例介绍等参元的计算方法。9.1坐标变换与等参元的概念地球表面上的一点可由画在地球表面的经线和纬线来确定，即线。此坐标称自然坐标。其与直角坐标间的变换关系为第九章等参元法及其在弹性力学中的应用9.1.1自然坐标及其坐标变换oRzyx一、二维单元的坐标变换(平面图形变换)1.任意直边四边形单元（4节点）1）整体坐标和局部坐标由坐标变换的性质，如能找到将图（b）中的正方形映射到（a）中的任意直边四边形的变
2、换式，则该变换式就是单元局部坐标与整体坐标的变换式（变换函数），现取插值函数如下：(9-3)(9-4)9.1坐标变换与等参元的概念2）变换函数－插值函数0xy12341(1,1)4(1,-1)3(-1,-1)2(-1,1)整体坐标局部坐标/自然坐标式中(9-5)式（Δ）是形状函数，与位移函数一样，在i节点，Ni=1,在其它节点，Ni=0，该形状函数可以象位移函数一样求解，用待定函数法或试凑法。为简便起见，将（Δ）式写成如下通用公式(9-6)9.1坐标变换与等参元的概念9.1坐标变换与等参元的概念2.任意曲边四边形单元（8节点）(9-7)(9-8)(9-9)8765
3、43211(1,1)7(1,-1)5(-1,-1)3(-1,1)24689.1坐标变换与等参元的概念一般表达式(9-10)二、三维单元的坐标变换－－空间图形的变换(自学)前面介绍的各单元，其节点位移个数与节点坐标个数一样，在选取单元的位移函数时，可取单元的自然坐标作为自变量，取图形（坐标）变换式的形状函数为位移函数的形状函数。这样可大大简化计算。如坐标变换式为:9.1.2等参元的概念9.1坐标变换与等参元的概念则取位移函数为像上述这样，坐标变换与位移函数采用相同的节点，且取相同的插值函数（形状函数）的变换叫做等参变换。这种单元叫等参元。在等参元的坐标变换中，局部坐
4、标（自然坐标）中的正方形或立方体称为母单元，而整体坐标内曲边形称子单元。若坐标变换所取的节点数大于位移函数所取节点数，叫超参变换，反之叫次（亚）参变换。在有限元分析中，计算单元刚度矩阵和等效节点荷载是两个非常重要的步骤。因为坐标变换比较复杂，在求整体坐标中的单元刚度矩阵和等效节点荷载时，已不能采用过去那种坐标变换方法，而是通过微积分运算的换元法来实现。这就要涉及到整体坐标与局部坐标之间的导数关系，以及面积和体积的变换，在计算等效节点荷载时，还要计算局部坐标中三维单元表面法线的方向余弦。因此有必要先介绍一下相关的数学运算方法。计算应变时，要用到位移对坐标的导数，下面
5、给出具体计算公式。在平面问题中，位移u,v是整体坐标x,y的函数，而x,y与局部坐标之间又有（9-3）,(9-7)式的函数关系，所以有9.2等参变换所涉及的一些数学运算9.2.1二维等参变换的一些数学运算一、导数之间的关系9.2等参变换所涉及的一些数学运算写成矩阵形式(9-17)式中(9-18)由（9-3）或(9-7)式，得(9-18)中各元素。计算式为9.2等参变换所涉及的一些数学运算式中m为单元的节点数，代入(9-18)式有[J]称为雅可比矩阵9.2等参变换所涉及的一些数学运算同理（9-19）由(9-17),(9-19)式有（9－20）9.2等参变换所涉及的一
6、些数学运算(9-21)二、面积微元的变换计算单元刚度矩阵时，需将对整体坐标的积分变成对局部坐标（自然坐标）的积分，其面积微元也由直角坐标中的矩阵dxdy变成自然坐标中的曲边四边形，以下求直角坐标中的曲边面积元dA，用局部坐标中的面积微元表示的表达式。9.2等参变换所涉及的一些数学运算由图9－7(a)得（9-22）由图9－7（b），在oxy坐标系内任一微矢量由于x,y是的函数，所以故(9-23)0xyxyox9-7(a)9-7(b)9.2等参变换所涉及的一些数学运算由于是沿坐标变化的，所以它只是的函数，与无关。由上式得：(9-24)同理（9-25）将(9-24),(
7、9-25)代入（9－22）得因为9.2等参变换所涉及的一些数学运算雅可比行列式Jacobi有关三维等参元中的数学运算可类似推导。第三节平面问题等参元法本节以4节点任意直边四边形单元为例加以介绍。对于8节点曲边四边形单元，可查阅有关书籍自己推导。9.3.1单元刚度矩阵的计算0xy12341(1,1)4(1,-1)3(-1,-1)2(-1,1)图9-11任意直边四边形单元第三节平面问题等参元法一、位移函数式中(9-43)其中N1,N2,N3,N4由(9-5)式给出，它们是的函数。(9-5)或中的位移矢量沿整体坐标x,y方向，如图9－11所示。二、坐标变换函数第三节平面
8、问题等参元
