有限元教学ppt课件

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1、第二章理论基础l力学基础：弹性力学数学基础：泛函、变分原理、加权余量法。材料力学与弹性力学1、研究的内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：变形体但也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析

2、方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的

3、弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：弹性力学中关于材料性质的假定(1)物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关

4、。(3)物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。(4)物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。(5)物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学

5、中的微分方程都成为线性方程。描述变形体的基本变量一、弹性力学中的物理量载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力、和集中力三种形式。1.载荷：体力的矩阵表示面力的矩阵表示为集中力的矩阵表示为2.应力和应变a.微分体的应力分量b.微分体的应变分量(a)正应变的几何意义(b)切应变的几何意义三、位移弹性力学的基本方程及其矩阵表示1.平衡方程2、几何方程3、物理方程弹性矩阵，由弹性模量E和泊松比确定，与坐标无关第二节变形体虚位移原理和最小势能原理一、虚位移原理作用在一个质点上的力，当给与这个质点一个允许的、假想的、微小的位移时，此力沿这个

6、位移所做的功称为虚功。这个可能的、微小的、假想的位移称为虚位移。虚功是指力在虚位移上作的功。在虚功中，力与位移分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。其中力所属的状态称为力状态或第一状态，而位移所属的状态则称为位移状态或第二状态。从以下四个方面来理解虚位移：1)虚位移是一种允许位移，必须满足质点或质点系所给定的约束条件，既约束允许的位移。固体力学中，可以把自由弹性体看成相互间有一定约束的无数个质点组成的系统，这种约束称为变形协调。即变形前的连续体，变形后仍必须是连续的。如果该弹性体受到边界约束，就不是自由弹性体。该弹性体各个质点的微小位移不仅要满足变

7、形协调，而且还要满足边界条件。在满足这两项要求下，各种允许位移才是虚位移。2)虚位移是假想的，一般由无穷多种可能性。而真实位移是在一定外力和初始条件下，受到约束而产生的位移。真实位移是惟一的，是虚位移的一种。3)虚位移是一个微小位移，这种微小位移应理解为无穷小，可以对它标以变分记号。如果某点位移用来表示的话，则虚位移为，而真实来表示。位移的微小增量用4）质点或质点系在虚位移的过程中，原有的力和应力均保持不变。虚位移原理表述为：受给定外力的变形体处于平衡状态的充分、必要条件是，对一切虚位移，外力所作总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。即有如下虚功方

8、程成立对若干根杆件结构：为弯矩，虚曲率为剪切力，虚剪切角为轴向力，虚轴向应变。二、最小势能原理1．可能位移为满足位移边界条