一道市统考题的解答引发的思考

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1、s一道市统考题的解答引发的思考【摘要】本文通过一道函数小题的解答，联系近几年全国卷的相关高考原题，在题目、题型、教法、教材等方面进行了一些思考。力求举一反三，窥一斑而见全豹，助力于高中数学教学。【关键词】函数；导数；高考试题；数学教学；教学反思1.试题解答东莞市2016-2017学年度高二文科统考第12小题：已知函数若存在唯一的零点，且则的取值范围是()此题目的两种常规解法如下，解法1：当时，有两个零点，舍去；当时，，当时，在所以必存在正数零点，舍去；当时，在如果存在唯一的零点，且那么只须极小值即可，由解得，.解法2：函数存在唯一的零点，且等价于关于的存在唯一解，

2、且等价于ss关于的存在唯一解，且等价于研究如下：定义域，是奇函数，和，是增函数，极大值极小值根据以上信息，可以作出(如图所示)，数形结合，解得.2.试题及答卷分析此题目由2014年全国卷(І卷)第12题改编而成，高考原题如下：该题目以函数零点的存在性和唯一性问题为载体，以导数为工具解决函数的单调性和极值问题，考查学生分析和解决问题的能力。题目简洁、朴素，但是解题思路常规而丰富。解法1开门见山，直奔主题，但需要较强的分类讨论能力；解法2需要较强的转化和化归能力，但是利用“参变量分离”后ss，如果可以准确的作出图像，问题的理解就变得直观容易。由于题型具有代表性，解法常

3、规，思想丰富，在章末小结和期末复习的过程中，2014年的高考原题均作为典型例题被重点评讲。很多学生在统考结束后都感觉看到该题目是“记忆犹新”的，而且应当是手到擒来的，但是成绩出来后，该题目的成绩分析却让我们大跌眼镜。(成绩分析见下表)事后调研发现，学生在解答过程中存在诸多问题，以下问题具有代表性：①审题不清。混淆理解“存在唯一的零点，且”和“存在唯一负数零点”；②计算不对。求导后不能对导函数进行恰当的因式分解，不能准确求解单调区间和极值；③分类不全。没有理解分类讨论的必要性，没有准确理解参数对导函数的开口方向和导函数零点的关系，导致原函数单调区间讨论错误；④作图不

4、准。忽视了定义域，忽略了和坐标轴的交点，对极限运算理解不正确导致值域讨论错误等原因而造成作图不准；⑤对“恒成立”和“能成立”问题理解混淆。古语云“书读百遍，其义自见”。而我们高中数学教学却时常陷入“题练多变，其利不见”的尴尬境遇，这促使我们对教学要做进一步的反思。3.教学反思⑴数学教学必须重视数学语言的教学。前苏联数学教育家斯托利亚尔说过“数学教学也就是数学语言的教学”。数学思维的发展是离不开数学语言的同步发展的，丰富数学语言系统，提高数学语言水平，对发展数学思维、培养数学能力和素养有着重要的现实意义。学生能否准确、迅速地理解课堂上教师用数学语言所阐述的数学内容、

5、思想、方法，是衡量学生数学课堂学习效率高低的重要标准。在本题目的解答过程中，对于“存在唯一的零点，且”的理解错误很大程度上导致了思考方向的错误。教学实践也表明，数学语言发展水平低的学生的数学理解力也差，理解问题时常发生困难和错误。在数学问题的表述中，“或、且、非”“任意与存在”“有解与恒成立”“单调区间与区间单调”等等语言表述，不要小看只是只言片语或者叙述顺序的调整，有时正是这些关键语言ss在作祟，才导致学生对于问题束手无策。所以只有很好地把握数学语言，透彻的理解关键语句，才能很好地去分析问题、思考问题。⑵多用变式教学，区别易混概念。数学是基于概念的科学，相同的概

6、念或者类似的概念必然产生容易混淆的题目。如果在平时的教学中不注意区别和针对性的训练，学生往往就会被这种“貌合神离”的问题迷惑，只关注形似，不关注本质。例如本题的解答过程中就体现出学生对“恒成立”和“能成立”问题理解混淆，那么我们可以改变条件表述，区别这两类问题，并结论性归纳。⑶重视章节小结，提炼研究方法。在该题目的解答过程中，大多数学生采用方法2，即“参变量分离法”。但在转化为很多学生不能准确的作出其图像。除了计算问题，关键在于学生并没有掌握一套研究函数的系统化的方法。这其实也暴露了教学中重视概念，不重视思想方法；重视分析，不重视小结归纳的弊端。教材中其实是扎实充

7、分的介绍了函数的研究方法的，只不过需要我们稍作提炼。在人教必修一第一章先介绍了函数的相关概念，概念的结构图如下图所示，函数函数的定义函数的性质函数的图像函数表示方法函数的定义域函数的周期性函数的奇偶性函数的单调性函数的值域在第一章小结中可以完善总结这种方法，然后在必修一第二章ss利用这种方法研究了指数函数和对数函数，最后以探究的方式总结了幂函数的图像和性质，乃至后面的三角函数也是用这种方法研究的。而这种利用章节结构来研究的方法在数列，圆锥曲线等章节也有充分体现。这提醒我们对教学要提纲挈领，整体把握。⑷补充极限结论，重视极限思想。本题目的两种解法在画图和分析解答的过

8、程中都涉及