利用几何画板尝试指对数函数图像交点问题的探究

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1、.利用几何画板尝试指对数函数图像交点问题的探究——从一道作业的“勘误”说起李永胜江苏省沛县湖西中学2216111.作业出差错、勘误引分争在一次作业中布置了这样一道填空题：指数函数和对数函数（）的图像的交点有个.随后“勘误”为：把题目中“”改为“”。于是与一位同学有了如下一段对话：生：老师，这个题不用改。（该生胸有成竹的样子）师：你做出答案了吗？生：做出来了，1个！（该生表现非常自信的样子，回答也是铿锵有力）师：1个吗？你是怎么做的？生：画图呀！（顺手画出了一个图像）师：你画得准确吗？生：书中都是这么画的！（学生的情绪稍微有些激动，立即把苏教版高中数学必修

2、1教材的第66页上，图2-3-2中“函数与在同一坐标系中图像”翻开给我看，显然学生是有备而来的。）（作为老师，没有理由不去理解学生的此时此刻的想法。于是在这样的情绪中我们之间对话进一步深入。）师：你认为这个交点在哪里？生：它们互为反函数，交点应该在直线上。（学生思考片刻回答道）师：（我并没有动声色）请做一个考题：（2003年高考上海卷）在，，和四点中，函数的图像与其反函数的图像的公共点只可能是点（）ABCD生：选A（学生按照自己的想法，很快说出了答案）师：理由。生：只有点在直线上。师：你把点的坐标代入函数试试。（希望这样能改变学生的错误认识）生：答案A不

3、对，应该选D。（此时学生的表情有些羞愧和迷茫）...师：选对了！从这个考题中，我们很容易发现点是指数函数与对数函数图像的一个交点。师：你再验证一下，点是不是它们的另一个交点？生：是它们的交点！（此时，学生被我“说服”了！显得有些尴尬的样子，直点头说：“我怎么没有想到呀！”）师：很容易发现这两个点是关于直线对称，但不在直线上，其实，像你刚才认为一样：指数函数与对数函数图像在直线上还有一个交点。生：谢谢老师！（学生迟疑一下，感觉欲言又止，转身离开了办公室）2.对话陷思考、画板见端倪其实在与这位同学的对话中，让我有一次惊讶和尴尬的场面：就是这位学生让我看书中“

4、函数与在同一坐标系中的图像”时。真没有想到他会用这个实例来让我“折服”，要不是我想到2003年上海市的那道高考试题，我真不知道怎么让这位学生“信服”。然而学生转身离去前的那种困惑的眼神和尴尬的表情却让我陷入了思考：为什么函数与的图像只有一个交点，函数与图像却有三个交点？指数函数和对数函数的交点个数与底数之间究竟有什么“不解之缘”？由于草图粗糙失真，当时，我们在同一坐标系里画出和的图像常常习惯认为只有一个交点的情况，其实它们还会出现有三个交点的情况，这种情况不但是难以想象，而且是“无法”徒手画出它们不在直线上交点。于是想到了《几何画板》能把较为抽象的图像形

5、象化、动态化这一特色功能，最终利用它不但很容易地在同一坐标系里画出了含参的指数函数和对数函数图像，而且还通过动画演示，比较直观的发现了指数函数和对数函数图像的交点情况。为了让读者也能利用《几何画板》去画出它们的图像，并且能通过演示直观感受它们的交点情况，下面就以上指对数函数图像的制作过程和演示结果简单介绍如下：...图像制作：S1打开《几何画板》后，选择“文件”→“新建画板”命令，建立新的画板。S2选择“直尺工具”按钮，在“工作区”内的恰当位置，单击后按住“shift”拖动鼠标画出一条水平的射线。S3单击“文本工具”按钮，鼠标指针变为手形，指向刚刚绘制射

6、线的端点，单击鼠标，显示该点的标签为“”S4单击“点工具”按钮选择，在射线上绘制两个点，重复步骤S3，显示此两点的标签分别为“”和“”。S5单击“选择箭头工具”按钮，选中射线及射线上的一个控制点，选择“显示”→“隐藏对象”命令，隐藏该射线和点。S6选中“”点和“”点，选择“构造”→“线段”命令，构造线段，并选择“度量”→“长度”，计算出线段的长度“”，同样方法，构造线段和计算其长度“”。S7选择“度量”→“计算”命令，打开“新建计算”对话框，依次点击“”，“”，“”，单击“确定”按钮，计算出“”。S8鼠标右键单击“”→“属性”，打开“度量结果#3的属性”

7、对话框，选择“标签”，则标签栏中输入“a”，单击“确定”按钮，出现“a=…”的参数标签，如图1所示。S9选择“图表”→“绘制新函数”，打开“新建函数”对话框，依次单击“a=…”，“^”，“x”，单击“确定”按钮，绘制出函数f(x)=ax的图像。S10采取类似步骤S9的方法，同样绘制函数g(y)=ay和h(x)=x的图像，如图2所示（图中的函数f(x)=ax，g(y)=ay和h(x)=x分别是文中函数,和)。图1图2...交点演示：演示Ⅰ不断拖动点和点，改变指对数函数的底数a的大小，当a的值越来越小时，指对数函数图像的交点变化从图2变到图3。演示Ⅱ同样拖动

8、点和点，使其a值大于1，当a的值越来越大时，此时指对数函数图像的交点情况如图4、