附录1截面图形的几何性质

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1、附录1截面图形的几何性质提要：不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻

2、重的作用。附1.1截面的静矩与形心任意平面几何图形如图附1.1所示。在其上取面积微元dA，该微元在zOy坐标系中的坐标为z、y。定义下列积分：图附1.1静矩的概念Sz=dA，Sy=dA(附1.1)y∫Az∫A量纲为长度的3次方。由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标z和y。则CCA⋅zz=⋅=dASCy∫A由此可得薄板重心的坐标z为C∫zAdSAyz==CAA同理有Szy=CA·260·材料力学所以形心坐标SySzz=，y=(附1.2)CCAA或SA=z，SA=yyCzC由式(附1-2)得知，若某坐标轴通

3、过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即y=0，CS=0；z=0，则S=0；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的zCy形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第i块分图形的面积为A，形心坐标为yz,，则其静矩和形心坐标分别为iCiCinnSAz=∑iCyi，SAy=∑iCiz(附1.3)i=1i=1nn∑AiCyiS∑AiCizSzi=1yi=1y==，z==(附1.4)CnCnAA∑Ai∑Aii=1i=1【例附1.1】求图附1

4、.2所示半圆形的SS,及形心位置。yz解：由对称性，y=0，S=0。现取平行于y轴的Cz狭长条作为微面积dA22d2A==−yzd2Rzzd所以R2223Sz=dA=⋅−=z2dRzzRy∫A∫03图附1.2例1.1Sy4Rz==CA3π【例附1.2】确定形心位置，如图附1.3所示。图附1.3例1.2解：将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为矩形Ⅰ：2A=×=120101200mm1·260·附录1截面图形的几何性质·261·10120y==5mm，z==60mmC1C122矩

5、形Ⅱ：2A=×=7010700mm27010y=10+=45mm，z==5mmC2C122整个图形形心C的坐标为Ay+Ay11CC22y=CAA+121200570045×+×=1200700+=19.7mmAz+Az11CC22z=CAA+121200607005×+×=1200700+=39.7mm附1.2惯性矩与惯性积、极惯性矩(1)平面图形对某坐标轴的2次矩，如图附1.4所示。图附1.4惯性矩、惯性积、极惯性矩的概念22I=zAd，I=yAd(附1.5)y∫Az∫A量纲为长度的4次方，恒为正。组合图形的惯

6、性矩。设I,I为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为yizinnIy=∑Iyi，Iz=∑Izi(附1.6)i=1i=1(2)定义下式I=yzAd(附1.7)yz∫A为图形对一对正交轴y、z轴的惯性积。量纲是长度的4次方。I可能为正，为负或yz·261··262·材料力学为零。若y，z轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。(3)若以ρ表示微面积dA到坐标原点O的距离,则定义图形对坐标原点O的极惯性矩2I=ρdA(附1.8)p∫A因为222ρ=yz+所以极惯性矩与(轴)惯性矩有如下关系22I=(yzAII+=)d+(

7、附1.9)p∫Ayz式(附1.9)表明，图形对任意两个互相垂直轴的(轴)惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。(4)定义下式IyIzi=，i=(附1.10)yzAA为图形对y轴和对z轴的惯性半径。【例附1.3】试计算图附1.5(a)所示矩形截面对其对称轴(形心轴)x和y的惯性矩。(a)(b)图附1.5例1.3解：先计算截面对x轴的惯性矩I。取平行于x轴的狭长条(图(a)作为面积元素，即xddA=by)，根据公式(附1.5)的第二式可得h2222bhIy===ddAbyyx∫∫hA−122同理在计算对y惯性矩I

8、时可以取ddA=hx(图(a))。根据公式(附1.6)的第一式，可得yh3222bhIxy===∫∫ddAhhxxA−1223bh若截面是高度的平行四边形(图(b))则它对于形心的惯性矩同样为I=。x12【例附1.4】求如图附1.6所示圆形截面的,,,IIII。yzyzp·262·附录1截面图形的几何性质·263·图附1.6例1.4解：如图所示取dA，根据定义，D4222