高中数学全一册学案(含解析)新人教a版选修2_2

高中数学全一册学案(含解析)新人教a版选修2_2

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1、1.1.1〜1.1.2变化率问题导数的概念Ui层析教材,新知无师自通知识点一平均变化率假设下图是-•座山的剖曲示意图,建立如图所示的平面直角处标系.〃是岀发点,〃是山顶.爬山路线用函数y=f{x)表示.口变量艮表示某旅游者的水平位置,函数值y=f^表示此时旅游者所在的高度.设点〃的坐标为Ui,71),点〃的坐标为(血乃).问题1:若旅游者从点昇爬到点5且这段山路是平直的,自变量/和函数值y的改变量△“分别是多少?提示:自变量“的改变量为Nx=X2—函数值的改变量为A尸乃一儿问题2:能否根据Ay的大小判断山路的陡峭程度?提不:不能.问题

2、3:怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢?提示:对山坡加來说,芒=去可以近似地刻画.提不:因问题4:能用壬刻画山路陡峭程度的原因是什么?示儿〃两点所在克线的斜率斤,显然,“线段”所在直线的斜率越大,AV山路越陡.这就是说,竖直位移与水平位移之比忒越大,山路越陡;反之,山路越缓.Ay问题5:从〃到〃与从〃到C两者忒相同吗?提示:不相同•1.函数的平均变化率对于函数y=f(^),给定自变量的两个值殆和応,当自变量x从加变为応时,函数值从/U)变为/U),我们把式子'X2一fXX2~X为函数y=f(x)从加到魁的平均变化率.习惯上用Ax表示

3、卫一山,即、X=XLX,可把Ax看作是相对于加的一个“增量”,可用匕+“代替血类似地,A尸心)—心)・于是,平均变化率可表示为忒.1.平均变化率的儿何意义设心,心)),BE心))是曲线y=f(x)上任意不同的两点,函数y=f®的平均变化率宁/血7、&=f“T&为割线初的斜率,如右图所示.AxXi—XAx对△尢Ay的理解⑴Ax,Ay是一个整体符号,而不是A与x,y相乘.⑵孟,船是定义域内不同的两点,因此A/HO,但A%可正也可负;AF=f(X2)—f(x)是△*=捡一孟相应的改变量,△./的值可正、可负,也可为零,因此平均变化率可正、

4、可负,也可为零.知识点二导数的概念•质点的运动方程为s=8—3&其屮s表示位移,十表示时间.提不:As8-3△t~,我们称它为函数y=f{x)在*=彌处的导数,记作尸(xo)或

5、x问题1:试求质点在这段吋间内的平均速度.=%0,即尸(%o)=1imAlOAyfAb+Ax—fAbA^=11肌17导数概念的解读(1)导数是一个局部概念,它只与函数y=fx)在/=抑处及其附近的函数值有关,与Nx无关.(2)尸(Q是一个常数,即当Ax-0时,存在一个常数与/胸—/旳无限△X接近.如果当A/—O时,lim+丄不存在,则称函数f(x)在x=xo处

6、不可导.AlO△X锁定考向,考题千变不离其宗求函数的平均变化率⑴己知函数y=f(x)=%+1,则在%=2,Ax=O.1时,Ay的值为(B.0.41D.0.44A.0.40C.0.43(2)已知函数心)=卍,分别计算心)在自变量龙从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快.(1)选BAy=f(2+△方一f(2)=f(2.l)-f(2)=2.严一22=0.41.(2)自变量*从1变到2时,函数fd)的平均变化率为2+#-1+12-11丄2;自变塑X从3变到5时,函数广(方的平均变化率为5+右-(3+与f53_U

7、=2=7?因为寺<曙,所以函数=卄+在自变量/从3变到5吋函数值变化得较快.求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变fi^X=X2—X};(2)求函数值的改变量A尸f(Q—⑶求平均变化率X?一f$.AxX2~X分别计算下面三个图象表示的函数力("在区间上的平均变化率.解:对于图①,AA=A(3)-A(0)=10-0=10,・・・#=吕=¥,即平均变化率为乎•同理可以算得图②、图③屮函数("在区间上的平均变化率均为罟.求函数在某点处的导数⑴设函数在点必附近有定义,且有/Vo+aX)=a^x+b{Ax)2(.ayb为常数),贝U()B.

8、3=bA.f(-¥)=a(2)求函数f37在X=l处的导数.⑴选Cf(Q=lim土'丛+"一产朋A.r-0=li芒.0(日+〃•"=&f1+A—f1⑵由导数的定义知,函数在尸1处的导数f(l)=li肌—,而f1+"—f11—寸1+△卄1,又li乩1pl+—+1=*,所以f(1)12*利用定义求导数的三步曲由导数的定义知,求一个函数y=f{x)在处的导数的步骤如下:(1)求函数值的改变量Ay=/'g+A才)一广仏);Avf⑵求平均变化率用一Ao(3)取极限,得导数尸Q)=li肌简认为:一差,二比,三趋近•求函数尸7在口处的导数.44解:"

9、尸△卄22_歹4=91Ax+22_、x'+4X=,.AyA卄4•■卜XAx+2小(2)=lim4.lOAzA%=—limAlO△x+4△x+2=-l.瞬时速度的应用[29+3f-32,OWr<3,若-物体的

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