高一数学竞赛辅导五

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1、高一数学竞赛辅导521.设P是函数y=x+—（x>0）的图像上任意一点，过点P分别向直线y=x和丿轴作垂x线，垂足分别为A,B,则PAPB的值是•【答案】-1【解析】方法1:设p（忑=牝+二）贝J直芟PA的为［-（x0+二）=-（工-切=BPv=-x+2x^+—.*VV=x“11由、2=>川(忑+—,花+—).牛_卄2兀+二，忑七忑r_ii——.—1又5(0.兀+—).所以PA=(—.-—).PB=(一％0).故PA-PB=—^x^=-lEEE兀^_32.设MBC的内角A,B.C的对边分别为ci,b,c,且满足acosB-bcosA=-c,ntltanA_则的值是.tanB【答案】43.设x

2、,y,zg[0,1],则M=J

3、x_y

4、+J

5、y_z

6、+J

7、z_%

8、的最大值是・【答案】V2+1【解析】不妨设OSxSySzSl,贝iJM=Jy_x+Jz_y+Jz_x.因为Jy_x+Jz_y/2+})jz-x0)的焦点为F,准线为1,A,3是抛物线上的两个动点，且满足ZAFB=l设线段AB的中点M在I上的投影为N,则需的最大值是AF+BF【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位

9、线定理得

10、MN

11、二在AAFB中,由余弦定理得ABf=AFf4-

12、BF

13、2-2AF-BFcos-Ir9AF+BF?AF+BF9,,2=(

14、AF+1BF

15、)2-31/1F

16、•IBF>(

17、AF

18、+1BF

19、)2-3(——-——)2=(——-——)2=MN[.当且仅当

20、af

21、=

22、5f

23、时等号成立.故需的最大值为1.2.设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-4BC内接于同一个球.若正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的角为45,则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是【答案】4【解析】刘•妙P0,则曲C,垂足H为正SABC的中心，且P0逑戯心0,连结CH并延长交AB于点M,则M为A

24、B的中鳳且CM_胭,易知厶PIH:厶QIH分别为正三棱锥P-ABCZ0-ABC的ftf面与底面所成二角的平面角，则厶PIH=45=,从而PH=MH=AH,因为aPAO=90AH_P0z■所以一0：=PH-0Hz即摆=2机-QH-r）ij所躯-诂"孙故叫0吩廿“6.设/（切是定义在/?上的奇函数，且当x>0时，/（兀）=兀2.若对任意的兀w[d,a+2],不等式/（X+67）>2/（兀）恒成立，则实数d的取值范围是【答案】[血,收）・【解析】由題设知/（X）=卢仗仝°)，则2/(x)=/(V2x).SUt,I一彳(x<0)/（x+a）>/（V2x）.因为/'（工）在尺上是増遍死所以x

25、+a兀即Q二（>/2-l）x.又xu匕4+门所以当x=a+2时,（72—l）x取得最大值（①一1）@+2）一因此a>^一1）@+2）=解得4二JI故4的取值范围是远+Q.]71

26、7.满足-—x—=—,1313412兀124•7171.7137T11.71.71.711.71sin—<—<—,sin—>—X—=—•所以sm—<—

27、冗1故满足一vsin丝v；的正整数/?的所有值分别为10J1J2,它们的和为33•4n38.某情报站有ARCD四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地「随机选用一种.设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是・(用最简分数表示)【答案】皀2432是41丿故4【解析】用£表示第上周用川种密码的槪率，则第斤周末用川种密码的槪率为r•于邑有冬］£(1一攵)世厂即戛W(—+)由召=i知*冬首项为二公比为丄的等比朗.所以鸟一丄二(一2)“，即4344343243二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.131

28、9.(本小题满分16分)已知函数/(x)=asinx——cos2x^a——+—2a2(1)若对任意xwR,都有f(x)<0,求d的取值范围；(2)若且存在"R,使得/(x)<0,求d的取值范围.【解析】(1)/(x)=sin:x+asin—.^r=sinx(-l2=所以一一<一