高一数学竞赛辅导检测题二

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1、高一数学竞赛辅导检测题二命题人：凌彬审核人：黄明喜（时间120分钟）班级姓名一、填空题（）1．已知，则2．已知函数，则函数的值域是3．关于的方程在上有解，则的取值范围是4．中，是外心，为垂心，那么下列式子正确的序号是①；②；③；④．5．有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，则这样的分配名单共可开出张．6．有6本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法．7．设有编

2、号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的盒子，将五个球投入五个盒内，要求每个盒内放一个球，且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数是8．设为奇数，则被9除的余数是第8页共8页二、解答题（）9．如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花．若，，设的面积为，正方形的面积为；（1）用，表示和；（2）当固定，变化时，求取最小值时的角的大小．解：第8页共8页10．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点；（

3、1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）试在线段上确定一点，使得与所成的角是．解：第8页共8页11．如图，是的两条高，和分别是和的中点，是的外心；求证：．12．设正整数不等于2，5，13，证明在集合中可以找到两个元素，，使得不是完全平方数．第8页共8页高一数学竞赛辅导检测题二参考答案命题人：凌彬审核人：黄明喜（时间120分钟）班级姓名一、填空题（）1．已知，则答案：．2．已知函数，则函数的值域是答案：利用三角换元和奇函数性质，考虑的情形，令，值域是．3．关于的方程在上有解，则的取值范围是答案：当，不适合

4、；当，变形为，可得范围是．4．中，是外心，为垂心，那么下列式子正确的序号是①；②；③；④．答案：欧拉线，正确的只有①．5．有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，则这样的分配名单共可开出张．答案：按多面手参与的情况进行分类：共有：种．6．有6本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法．答案：共有：种．7．设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、

5、5的盒子，将五个球投入五个盒内，要求每个盒内放一个球，且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数是答案：第8页共8页8．设为奇数，则被9除的余数是答案：，故余数是7．二、解答题（）9．如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花．若，，设的面积为，正方形的面积为；（1）用，表示和；（2）当固定，变化时，求取最小值时的角的大小．解（1）∵；∴；设正方形边长为，则；∴；；∴．（2）当固定，变化时，；令，则；；令，任取，且，；，在是减函数．时

6、，取最小值，此时．第8页共8页10．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点；（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）试在线段上确定一点，使得与所成的角是．解：（1）记与交于点，连结；∵、分别是、的中点，是矩形；∴四边形是平行四边形；∴，平面，平面；∴平面．（2）∵，；∴平面，作于，连，易得；∴是二面角的平面角；在中，，；，；∴二面角的大小为．（3）设，作于，则；∵，，；∴⊥平面，∴；在中，，；∵为等腰直角三角形，；又为直角三角形，；；或（舍）；即点是的中点．第8页共8页11．如图，

7、是的两条高，和分别是和的中点，是的外心；求证：．证明：如图，连结和，∵，；∴，又∵，∴；延长交于，连结；∵，∴四点共圆；∴，即；又∵，∴，；于是，，即，．12．设正整数不等于2，5，13，证明在集合中可以找到两个元素，，使得不是完全平方数．解：由于，，，因此，只须证明中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法：假设它们都是完全平方数，令①，②，③，；由①知：是奇数，设，即，也是奇数；因此，由②和③知：、均是偶数；设，，代入②和③，相减，除以4得：；从而，为偶数，、必同是偶数，这样是4的倍数，即是偶数，这与上述

8、矛盾；故命题得证．第8页共8页