资源描述：
《高中数学第三章导数及其应用34导数在实际问题应用素材苏教版选修1-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.4导数在实际问题中的应用近儿年来导数的实际应用题在高考试卷屮已经出现，并且新教材中导数的实际应用体的比重也有所增加，因此应更加重是这方面的学习。现在，我们研究几个导数在经济生活中的实际问题。1有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a元和5a元，问供水站C建在何处才能使水管费用最省？C分析：根据题设建立数学模型，借助图像寻找个条件间的联系
2、，适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导和其他方法求出最值，可确定C点的位置。解法一：据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置,才能能使总运费最省，设C点距D点xkm,如图所示，则BD二40,AO50—x,/.BC—/BD2+CD2=>/x24-402,又设总的水管费用为y元，由题意得.y=3d(50—x)+5Gj?匚乔(0vxv50),y=_3d+「■，令y=0,解得X=3O・在(0,50)上，y只有一个极值点，根yjx2+402据实际意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时A050-X=2
3、0(km),所以供水站建立在A、D之间距甲厂20间距甲厂20km处，可是水管费用最省。解法二设ZBCD=e,则BC=——,CD=40cot^＜仝，sin&I2丿•••AC=50—40cot&。设总的水管费用为/(0),依题意,有/(&)=3a(5O—40cot0)+5a40sin^二150q+40q・5-3cos0sin&・・•/'(&)=40a•(5-3cos0)sin&-(5-3cos&)-(cos&)sir?&二40/3-5cos&sii?033令/，(&)=o,得cos&二一。根据问题的实际意义，当
4、cos&—时，函数取得最小值,此时43sin&二一，・・・cot0=一，・・・AC=50—40・cot&=20（km）,即供水站建在即供水站54建在A、DZ间距甲厂20km处，可是供水管费用最省。评注：解决实际问题的关键在于建立数学模型和li标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明。2.生产某种电子元件，如果生产一件正品，可获利200元，如果生产一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率
5、p与FI产与日产量x的函数关系是p-———（XGN*、.4兀+32、7（1）将该产品的日盈利额T（元）表示为日产量x的函数。（2）为获最大利润，该厂的日产量应定为多少件？分析：次品率p二日产次品数/日产量。每天生产x件，次品数为xp,正品数为正品数为x（l-p）o3Y3x解：因为次品率p=当每天生产x件时，有兀•一件次品，有4%+324x+32<3x)<3%)1件正品，所以T=200x1<4x+32丿<4x+32丿-lOOx-3x4x+32=25•常，•”-25•斗
6、沪•由八。，得E6,或一32（舍去）。当
7、0VJVV16时，厂＞0;兀〉0时厂v0.所以，当X=16时，T最大。及该厂的日产量为6件吋，能获得最大盈利。3.若电灯（B）可在过桌面上一点0的垂线上移动，桌面上由与点0距离为a的另一点A,问电灯与点0的距离为多大时，可使点A出有最大的亮度？（如图，有光学知识，亮度y与sin6^成正比，与厂?成反比）解：设0到B的距离为x,则sin^=-,r=Vx2+6Z2于是y=c・r72—(x>0)(c适于灯光强度有关的常数)…・・)/二c—=0当y=0,即方程CT-2x2=0的根为西(++Q乎(兀?+/”所以在区间
8、［0,+oo)内，函数y=/(x)在点取极大值，也是最大值。即当电灯与0点距离为时,点A的売度y为最大。Xa/、a方0丿y+0—y极大们(舍)与尤22.现要制作一个体积为30的圆柱形无盖容器，其底面用钢板，侧面用铝板。已知每平方米钢板的价格是铝板的3倍，问怎样设计才能是材料费用最少？分析：这是一道实际应用题，列出材料费用的函数式，把它转化为求函数最小值的问题。30解析：设圆柱形容器的底面半径为xm,则圆柱的高为「m,底面面积为7TX2m2,侧而积为—m2o又设每平方米铝板的价格为a元，钢板的价格为3a元，总
9、费用为y元，则Xy=3a7rx2+—^z(x>0),/.=6a7rx-.令y-0,得兀=』巴=1.47.xx~aV71因为y只有一个使其为零的点，即只有一个极值点。rtl题意，y—定有最小值，故此极值点就是y的最小值点,这是圆柱的高为3』也(m)。故圆柱的底41半径为?/—m,7t高为3刃巴m时总费用最少。兀因为w=2000a/F-=-s&10002+皿，所以当心时，W取得最点评：在建立函数表达式吋,首先要适当选
