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《选修1-1导数及其应用(讲义)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数及其应用1.函数f(x)的导函数的定义r(x)^iim^=limf(x+Ax)-f(x)Ax^°Ax心toAx2.导数的几何意义函数f(x)在X=X°处的导数f'(Xo)的几何意义是在曲线y=f(x)±点(X。，f(X(J)处的切线的斜率.3.基本初等函数的导数公式(1)f(x)=c(c为常数),则fz(x)=O；(2)f(x)=xa,则fz(x)=axa_,(3)f(x)二sinx,贝ijf'(x)=COSX；(4)f(x)=cosx,则f'(x)=-sinx(5)f(x)=a,贝Ofz(
2、x)=axIna；(6)f(x)=ex,则fz(x)=ex(7)f(x)=logaX,则f'(x)=——；(8)f(x)=lnx,则fZ(X)=—xlnax4.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]，=f，(x)±g，(x)；⑵[f(x)g(x)J,=fz(x)g(x)+f(x)gz(x)；[cf(x)y=cfz(x)_、rf(x)1,_f，(x)g(x)-f(x)g，(x)5.函数的单调性与导数函数y二f(x)在某个区间(a,b)内可导.若ff(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;若
3、ff(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减.6.函数的极值与导数(1)函数极小值函数y二f(x)在点x二a处的函数值f(a)比它在点x二a附近其他点的函数值都小则点x=a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.函数f(x)在点x=a处取极小值的特点：①f‘(a)二0;②在点xp附近的左侧ff(x)<0,右侧fz(x)>0.(2)函数极大值函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都大则点XP叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a
4、)叫做函数y=f(x)的极大值.函数f(X)在点x=a处取极大值的特点：®f/(a)=0;②在点x二a附近的左侧f'(x)>0,右侧fz(x)<0.1.求可导函数极值的步骤(1)求导数f‘(x);(2)求方程f'(x)=0的根；(3)列表，检验fz(x)在方程f‘(x)二0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性)，如果左正右负(左增右减)，那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正(左减右增)，那么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.2
5、.求函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的最大值与最小值的步骤：⑴求y=f(x)在(a,b)内的极值;⑵将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比佼，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.基础巩固：1.如果一个物体的运动方程为S=i-tn2,其屮S的单位是米,t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度大小是.3.函数f(x)二exlnx在点(l,f(l))处的切线方稈是4.已知f(x)=x2+2xf/则f‘(——)=335.己知函数f(x)=ax3+x+l的图象在点(l,
6、f仃))处的切线过点(2,7),则6.抛物线y=x?上的点到直线X—y—2=0的最短距离为7.函数y=f(x)的图象如图所示，则y二f'(x)的图象可能是()(A)(B)(C)(D)&函数f(x)二3x2+lnx-2x的极值点的个数是・3.函数f(x)=3x-4x:J,xe［0,1］的最大值是.4.已知a>0,函数f(X)=X’一ax在［1,+8)上单调递增，则a的最大值是例题讲解例1求下列函数的单调区间.(l)f(x)=(l+x2)ex-a;lnx(2)f(x)=——变式训练：求函数f(x)二
7、3+xlnx的单调递减区问.例2若函数f(x)=x2+ax4在(i+8)上是增函数，求a的取值范围.变式训练：已知函数f(x)=—x2+2ax-lnx,若彳⑴在区间】一，2］上是增函23数,求实数a的取值范围.例3设f(x)=2xW+bx+l的导数为f‘(X),若函数y=ff(x)的图象关于直线x二-丄对称，且f，(1)=0.2(1)求实数a,b的值；(2)求函数f(x)的极值.变式训练：已知函数f(X)二ax'+bx+c在点X二2处取得极值C-16.⑴求a、b的值；(2)若f(x)有极大值2&
8、求f(x)在［-3,3］上的最小值.课后作业：1.函数f(x)二xlnx,则()A.在(0,+8)上递增B.在(0,+oo)上递减C.在(0,扌)上递增D.在(0,;)±递减1.函数y二xb在点(1,e)处的切线方程为•2.函数f(x)=-^(a0,b<0,c>0,d>0(B)a>0,b<0,c<0
