关于分式递推数列的若干的研究

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1、绪论前言符号约定基本概念常系数一阶线性分式递推数列通项公式一特征根方法不动点方法矩阵方法主要性质有穷数列与无穷数列周期性单调性极限性质常系数一阶高次分式递推数列可化为常系数一阶高次等幕比型的分式递推数列一常系数一阶二次等幕比型常系数一阶三次等幕比型常系数一阶次等幕比型一可化为等幕比型的分式递推数列的求解具有三角函数倍和角展开式特征的次分式递推数列正切和角展开式型正余切倍角展开式型其它倍角展开式应用举例具有双曲函数倍和角展开式特征的次分式递推数列双曲正切和角展开式型双曲正余切倍角展开式型其它双曲倍角展开式应用举例常系数高阶高次分式递推

2、数列可化为常系数阶线性连和型的分式递推数列常系数阶线性连和型常系数阶线性连和型可化为常系数阶线性连积型的分式递推数列常系数二阶线性连积型常系数阶线性连积型可化为常系数阶线性幕积型的分式递推数列常系数二阶线性幕积型常系数阶线性幕积型可化为幕积型的分式递推数列的求解总结与展望参考文献致谢四四四四删III关于分式递推数列的若干研究专业名称课程与教学论中请者姓名石岩导师姓名吴康摘要本文对分式递推数列进行了若干研究主要成果有找到了连和型连积型幕积型三类可求解的任意高阶高次分式递推数列提出了一些解法上的思路和猜想而且编拟了相关的题目提供了三类可

3、求解的常系数一阶高次分式递推数列及其解法并通过新定义的类三角函数和类双曲函数对初始值及相关系数是复数的情形给出了解决方法系统总结了常系数一阶线性分式递推数列的通项公式及其主要性质有穷数列与无穷数列周期性单调性极限性质并在单调性和极限性质方面提出了新的见解本文的研究成果丰富了分式递推数列的理论内容为编拟分式递推数列的相关题目提供了依据与参考也为进一步研究分式递推数列提供了一些新的思路与方向关键词分式递推数列高阶高次分式递推数列等幕比连和型连积型幕积型关于分式递推数列的若干研究绪论前言数列是重要的数学知识传统的等差等比数列是初等数学中的

4、核心内容之一从无穷数列到数列极限再到函数极限从数列求和到数项级数再到数列的牛成函数这些都说明了数列是连接离散与连续的纽带沟通初等与高等的桥递推关系作为确定数列的一种重要方式一直受到人们的关注如何通过数列前儿项及递推关系求出通项公式成为大家热衷讨论的课题递推数列问题如今对于常系数线性齐次和若干非齐次递推数列的通项公式已经有了一般的求解方法III而对于其它类型的递推数列由于种类繁多人们暂时都只是研究它们中的一些特殊类型脚笔者对分式递推数列非常感兴趣查阅此类递推数列的相关文献发现对于常系数一阶线性分式递推数列的通项公式及其性质已有很多研究

5、成果儿剣而对高阶高次分式递推数列的研究还没有形成系统的理论从研究方法上看主要将其转化为等差等比数列或常系数高阶线性齐次递推数列等已有方法求解的数列不过可求解的类型特征不够明显种类也并不多内容是有待充实的那么什么类型的分式递推数列是可求解的如何求解求解出的分式递推数列有什么性质如何运用这些性质来解决问题这一系列的问题是非常值得思考和研究的带着这些问题笔者对分式递推数列进行若干研究本文的主要工作对常系数一阶线性分式递推数列已有的研究成果进行归纳总结并提出了新的见解同时找到了可求解的一阶高次高阶高次分式递推数列的若干类型以及相的解法本文的

6、这些成果丰富了分式递推数列的理论内容为编拟分式递推数列的相关题目提供了依据与参考也为进一步研究分式递推数列提供了一些新的思路和方向符号约定复数集E实数集定义域为的数列柑虚数集定义域为的数列非负整数集届整数集定义域为的数列正整数集茎三全壅望燕擊型箜董工堡壅基本概念本文分别用武表示复数集实数集虚数集非负整数集整数集正整数集以下的定义是笔者参考相关文献重新整理归纳再加以定义的定义嘲按照一定次序排成的一列数称为数列数列是一类特殊的函数其定义域用表示则有如下四种形式扣以墨GGG本文只研究前两种形式而口是吋的情况即W和一约定G当时数列称为有穷数

7、列或有限数列可以写成口口简记为届当时数列称为无穷数列或无限数列可以写成口口口简记为蒯定义瞪数列中的每一个数称为数列的项第一个数称为首项口称为通项在木文中为首项SU为第以项刀称为标数定义域即为标数的集合定义伽若数列柑从第七项起每一项都满足关系式七丘足W口口础口••则称式为数列吒柑所满足的一个七阶递推关系式其中範屯以为定义在e上的七元函数尼称为阶数口口一称为初始值关于分式递推数列的若干研究定义鲫已知定义在e上的七元函数厂屯毛和七个常数口口e从开始由递推关系式巳吒砌M七按照顺序依次计算出直到存在某一正整数苫七一使得e但口磋则称口峨是由和牛

8、成的数列其定义域为一否则对任意的正整数万苫七则称口例是由和生成的数列其定义域为一定义鲫由初始值和递推关系式生成的数列口榴称为七阶递推数列约定本文屮出现的所有口与彬口Z间的递推关系式都满足条件珥苫七咒丘七丘后文将不再标记其中数列口村的定