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1、关于分式递推数列的项数和周期性研究一6数学教学2011年第7期关于分式递推数列的项数和周期性研究200240上海市闵行第二中学毛六明1.问题提出文…对分式递推数列的通项公式,单调性已有阐述,而对这类数列是有穷数列还是无穷数列,周期性如何未涉及,是一个空白.在一些市,区的高三模拟卷中常会看到类似这样的题目:(1)若数列{0孔)满足al=0,an+1=(Inn(EN),当0=1时,得到无穷数列:1,2,罢,11詈,…;当0=一吉时,得到有穷数列:一去,一1,0,问a为何值时,数列{0].有4项.(2)若数列{0n)满足al=2,0叶l=#(n∈N),则可得该数列的前2011项的乘积01?0
2、2'03'''''a2olo'a2Oll===——.本文从这两个小问题出发,研究分式递推数列的项数和周期性,探索这类数列具有有穷性和周期性的条件.2.数列为有穷数列2.1思考的方法很显然,问题(1)中数列为有穷数列,则最后一项必为0,因为0不在定义域内而终止.否则必不是有穷数列,也即为无穷数列{0).如a=一去时,得到3项的有穷数列,为使数列{n)增加1项,只要nl=0,02=一去,且02=上,Za10得n=一鲁,得到4项的有穷数列,……,依次倒推,a的适当取值可以产生5,6,……等任意项的有穷数列,所以首项a的取值决定了数列的项数.那么n取哪些值,是有穷数列呢?可以采用反函数的思想解
3、决,数列的本质是函数,数列递推式也是函数迭代式.如原数列对应的迭代函数f(x)=,易求反函数1f()=÷,对应的数列递推式是b=,首项bl当然取0,数列(6}:0,一1,一吉,一詈,…,0取数列{6)中的任意一个数,都可以得到一个有穷数列{0竹]..换句话说,0取其他的值得到的是无穷数列,由分式递推关系的数列通项求法,可知=其中m=,m2:+_,:下v/-~_3,其中佗的意义是数列{0).的项数(具体求法略去).2.2探求数列为有穷的条件问题一般化:对数列{n)满足al=00,an+1=(其中c≠0,.d—bc≠……①当00取哪些值时,数列{0}为有穷项.受问题(1)的解法启发,可以先
4、求数列①对应函数f(x)=—ax+b的反函数,为f-1x)=C+n—--dx—+b,为使数列f0}成为有穷项,最后一项,'必是一.记ao的取值数列为{6),应有b=,首项61一一一d.{6)仍然为分式CO"一1一ac递推数列,可以利用不动点的方法求它的通项,此数列的每一项即n0的取值.引用文【1】公式:an=—ml丁--二二_m2o~kn一-I,其中ml,m2为不动点,(a—d)土n1,2一————————一':二.al—m2:二里:.0一m2c(a+d)+v/(a-d)2+4bc为求数列{].的通项,可以比较数列{6)和数列{0)递推关系对应的字母,C,6不变,a,2011年第7期数
5、学教学一d的值分别替换了一d,一0,易得相关参数:{口n)(6)不动点相同ml,m2ml,m2一d.a一,/,(一d+口)+4bck互为a+d-,/,(0一d)+4bc—d一0+,//(一d+口).+4bc倒数口+d+,/,(.一d)+4bc——1首项al(待求)b=一譬=—bl-—ml61一m2～al—ml一(aTd)+,//a—d).+4bcal一"2(a-t-d)-,//(a-d)+4bcl=一,,右一一(删存===苛1'一f÷l.?..一个不动点m,首零..:==云+,∈N;有两个不动点,n.::二:奏,仇,有两个不动点,n0=———_?,仇l,1一(1)m2为不动点,m1,2
6、:—(a—-d—)—~—v/(a--—d)—2+一4bc,=篆a{d4bc,其中n的意义(+)+,//(口一d)+,'～3.1问题(2)的另类解法问题(2)的递推式结构有形式0+1:-l+an,l—n"有点像两角和的正切公式特例:tan(+)=1+tan,启发用构造一个新数列t,,其中an=tanOn,很显然这是可以做到的,因为tan0竹的值域是一切实数,虽然对应的有多,但不妨碍数列_[n)的唯一性.所以有0n+1=,tan札+=1二+tanOn=tan(+n)..'.al=tan01./,..?n=tanz=tan(+),1+taln0.03===—1—-——t—a—n~21+tan
7、(0+)卜tan(t+)_tan(+2×),.=tan(+)=tan[+c咒一17F](可以用数学归纳法证之),广1an+4=tanl1+(n—l7rf=nn,故数列a礼)是周期为4自数列.从而解奢原题.3.2探索推广对问题(2)的解答推广,注意到递推式的结构特点,联系到/(x)=tan(x)是周期为丌的函数,我们可以很容易地构造出周期为自然数的分式递推数列,如:(1)数列a)满足01=2,=,它的周期T=3,=tan(5)+an,(3)数列&
