分式型递推数列通项公式的求法

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1、一类分式型递推数列通项公式的求法2012年高考大纲全国卷考查了形如=递推数列通项公式的求法.由于此类题不仅涉及到转化和化归数学思想，更要有较强的运算能力，具有很强的综合性，因而备受命题者的青睐.不少同仁也研究过此类问题，如文,推导过程有点烦琐.也用高等数学不动点知识来求解,这种解法对高中生来说很难接受.本文将从另外两个角度谈谈处理这类问题的方法.一形如递推数列通项公式求法不少高中数学竞赛教程有此类问题的解法，这里直接引用，不再推导.结论1如果是递推关系（给定）的特征方程的两个根，则（1）当时，；（2）当时，.这里,都是由初始值确

2、定的常数.二形如=递推数列通项公式求法为了研究问题的一般性，这里.设，且初始值.方法1构造法两边同减去,===.令,即,可看成是方程(1)的根.由于此时(假设,代入方程,可得,与已知条件相矛盾.同理).所以方程(1)与方程(2)同解.此时不妨称(2)为特征方程.结论2(1)当特征方程有两个不等根(由初始值,可知方程的根不可能与相等)时,,,两式相除可得,,故是以首项,以为公比的等比数列.(2)当时(由求根公式可得),=+,把代入,可得=,故是以首项,以为公差的等差数列.方法2转化法==,令,有=,即.再令,有,两边同乘以,得到.

3、也就是说通过两次变换可转化为类型1进行求解.三例题例1已知数列满足,求通项公式.解法1特征方程，得.=.两边取倒数,有.故=.解得.法2令,代入原式化简有.再令,由,可设.递推关系可化为,即,由结论1求得,故,所以=.例2（2012高考全国卷）已知数列满足，求通项公式.解法1特征方程为,解得,所以,,两式相除有.而,所以有,解得法2令,代入原式化简有.再令,由,可设,递推关系可化为,即.由结论1求得=,故,所以.在解题过程中,笔者发现分式型递推数列的特征方程如果有两个不等的根,转化后二阶线性递推数列的特征方程也有两个不等的根.如

4、果分式型递推数列的特征方程如果有两个相等的根,转化后二阶线性递推数列的特征方程也有两个相等的根.这或许是这两类递推数列间一种很重要的关系.本文着重探究了分式型递推数列与一般二阶线性递推数列间的内在关系及求这类分式型递推数列通项公式的两种方法.希望对此类问题掌握不太好的学生有所帮助.参考文献1牛志忠.一类分式型数列通项公式的一种求法.中学教研,2008(1)2中国华罗庚学校数学课本严军主编长春:吉林教育出版社,2011.8