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时间：2020-06-02
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1、几种分式型递推数列的通项求法李云皓(湖北省宜昌市夷陵中学，湖北宜昌443000)1.1引言数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。2.1基本概念设数列的首项为，且其中为常数，同时，我们称这个递推公式为分式递推式，而数列称为由分式递推式给定的数列。显然，该数列的递推式也可写成2.2递推式的特征方程与特征根我们先来看一个引例
2、：首项为，由递推式给定的数列的通项公式我们是会求的：即为常系数等比差数列（由递推式给定的数列，其中为常数），该数列的通项是熟知的，为于是考虑能不能变型后让②中的没有，即让①中的没有。我们可以利用递推式的特征方程来解决这个问题。下面给出特征方程推导过程：数列的递推式为两边同时减去得通分后得令即方程③保留了原递推式的特征，故称为该递推式的特征方程，为特征根。3.1例题（第一部分）下面我们通过几个例题来说明特征方程的应用。两式相除得故当方程③有两不等实根时，可用此方法求出通项公式。两边同乘3得两边取倒数故当方程③有两相等实根时，也可用此方法求出通
3、项公式。两式相除得由此，当方程③有两虚数根时，用此方法求通项公式也是正确的。3.2例题（第二部分）下面我们来看另一类型的分式递推式。还要两边再取倒数还原，请读者自己完成化简令令下面的递推请读者自己完成4.1练习
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