几种分式型递推数列的通项求法.docx

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1、几种分式型递推数列的通项求法李云皓(湖北省宜昌市夷陵中学，湖北宜昌443000)1.1引言数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。2.1基本概念设数列{an}的首项为a1，且an+1=α1an+β1α2an+β2n=1,2,⋯①其中αi、βii=1,2,⋯为常数，同时α2≠0,α1α2≠β1β2，我们称这个递推公式为分式递推式，而数列{an}称为由分式递推式给

2、定的数列。显然，该数列的递推式也可写成an+1an+αan+1+βan+γ=0n=1,2,⋯②2.2递推式的特征方程与特征根我们先来看一个引例：首项为a1，由递推式an+1an+αan+1+βan=0(n=1,2,⋯)给定的数列{an}的通项公式我们是会求的：an+1an+αan+1+βan=0∴1+αan+βan+1=0即1an+1=-αβan+1β为常系数等比差数列（由递推式an+1=αan+β给定的数列，其中α、β为常数），该数列的通项是熟知的，为an=αn-1(a1-β1-α)+β1-α于是考虑能不能变型后让②中的γ没有，即让①中的β1没有。我们可以利用递推式的特征方程来

3、解决这个问题。下面给出特征方程推导过程：数列的递推式为an+1=α1an+β1α2an+β2两边同时减去x得an+1-x=α1an+β1α2an+β2-x通分后得an+1-x=(α1-xα2)an+β1-xβ2α2an+β2∴an+1-x=α1-xα2)(an-x+β1-xβ2+xα1-xα2α2(an-x)+β2+xα2令β1-xβ2+xα1-xα2=0即α1x+β1-xα2x+β2=0∴x=α1x+β1α2x+β2③方程③保留了原递推式的特征，故称为该递推式的特征方程，x为特征根。3.1例题（第一部分）下面我们通过几个例题来说明特征方程的应用。[例1]在数列{an}中，a1=

4、4，且an+1=3an+2an+4，求数列{an}的通项公式。解：特征方程x=3x+2x+4有两个不等根：x1=1，x2=-2an+1-1=3an+2an+4-1=2an-2an+4an+1+2=3an+2an+4+2=5an+10an+4两式相除得an+1-1an+1+2=2(an-1)5(an+2)由此可见，数列an-1an+2是以12为首项，25为公比的等比数列。∴an-1an+2=25n-1·a1-1a1+2=25n-1·2∴an=2n-1+5n-15n-1-2n-2n=1,2,⋯故当方程③有两不等实根时，可用此方法求出通项公式。[例2]在数列{an}中，a1=3，且an

5、+1=2an-19an+8，求数列{an}的通项公式。解：特征方程x=2x-19x+8有两个重根：x1=x2=-13an+1+13=2an-19an+8+13=5(3an+1)3(9an+8)两边同乘3得3an+1+1=5(3an+1)9an+8=5(3an+1)3(3an+1)+5两边取倒数13an+1+1=35+13an+1∴13an+1=35n-1+13a1+1=6n-510∴an=5-2n6n-5n=1,2,⋯故当方程③有两相等实根时，也可用此方法求出通项公式。[例3]在数列{an}中，a1=3，且an+1=22-an，求数列{an}的通项公式。解：特征方程x=22-x有

6、两个虚数根：x1=1+i，x2=1-ian+1-1+i=22-an-1+i=1+ian-2i2-an=(1+i)·an-(1+i)2-anan+1-1-i=22-an-(1-i)=1-ian+2i2-an=(1-i)·an-(1-i)2-an两式相除得an+1-1+ian+1-1-i=1+i1-i·an-1+ian-1-i∴an-1+ian-1-i=1+i1-in-1·a1-1+ia1-1-i=in-1·2-i2+i∴an=1+3i-in-1+3·in2+i-2·in-1+inn=1,2,⋯由此，当方程③有两虚数根时，用此方法求通项公式也是正确的。3.2例题（第二部分）下面我们来

7、看另一类型的分式递推式。[例4]在数列{an}中，a1=a1，且an+1=an22an+a，求数列{an}的通项公式。解：两边取倒数有：1an+1=2an+aan2=2an+aan2=a1an2+2·1a·1an1an+1+1a=a1an2+2·1a·1an+1a21an+1+1a=a1an+1a21an+1a=a1an-1+1a2=⋯=a2n-1-11a1+1a2n-1∴1an=a2n-1-11a1+1a2n-1-1an=1,2,⋯还要两边再取倒数还原，请读者自己完成化简[例5