常见递推数列通项的求法

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1、WORD格式-可编辑常见递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见递推数列求通项的基本求法。类型1、型解题思路：利用累差迭加法，将，=，…，=,各式相加，正负抵消，即得.例1、在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故.例2．在数列中，且，求通项.解：依题意得，，，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若非常数，而是关于的一个解析式，可

2、以肯定数列不是等差数列，将递推式中的分别用代入得个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。例3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。练习：专业知识--整理分享WORD格式-可编辑1、已知满足，求的通项公式。2、已知的首项，（）求通项公式。3、已知中，，，求。类型2．型解题思路：利用累乘法,将各式相乘得，，即得.例4．在数列中，，，求通项.解：由条件等式得，，得.【评注】此题亦可构造特殊的数列，由得，，则数列是以为首项，以1为公比

3、的等比数列，得.例5、设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）.解：原递推式可化为：=0∵＞0，则……，逐项相乘得：，即=.练习：1、已知：，（）求数列的通项。2、已知中，且求数列通项公式。专业知识--整理分享WORD格式-可编辑类型3、型解题思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列是以为首项，以为公比的等比数列.例6．数列满足，求.解：设，即对照原递推式，便有故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列。，即通项【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“”作适当的分离，

4、配凑成等比数列的结构，从而构造出一个新的等比数列。练习：1、已知满足，求通项公式。2、已知中，，（）求。分析：构造辅助数列，，则[同类变式]1、已知数列满足，且，求通项分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列，即，解得求得2、已知：，时，，求的通项公式。解：设∴解得：∴专业知识--整理分享WORD格式-可编辑∴是以3为首项，为公比的等比数列∴∴3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+…+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。类型4．型例7已知数列的前项和满足（1）

5、写出数列的前3项；（2）求数列的通项公式.解：（1）由，得.由,得,专业知识--整理分享WORD格式-可编辑由,得(2)当时,有,即①令,则,与①比较得,是以为首项,以2为公比的等比数列.,故引申题目：1、已知中，，（）求2、在数列{}中，求通项公式。解：原递推式可化为：①比较系数得=-4，①式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.∴即.3、已知数列满足，，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再

6、直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式4、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式5、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式专业知识--整理分享WORD格式-可编辑6、已知数列满足，求数列的通项公式。解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，得⑤由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。类型5、取倒数例8、已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式

7、。解：将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.例9、数列中，且，，求数列的通项公式.[提示]例10、，求解：即则专业知识--整理分享WORD格式-可编辑例11、数列中，，，求的通项。解：∴设∴∴∴……     ∴∴练习：1、在数列中，求．类型6、取对数法例12若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即.例13、已知数列满足，，求数列的通项公式。专业知识--整理分享WORD格式-可编辑解：因为，所以。在

8、式两边取常用对数得⑩设将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得由及式，得，则，所