常见递推数列通项的求法.doc

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1、常见递推数列通项的求法由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。类型1、型思路：利用迭加法，将，=，…，=,各式相加，正负抵消，即得.例1、在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故.例2．在数列中，且，求通项.解：依题意得，，，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若是一常数，直接可得是一等差数列；若是关于的一个解析式，将递推式中的分别用代入得个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。例3、已知数列满

2、足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。-10-练习：已知满足，求的通项公式。已知的首项，（）求通项公式。已知中，，，求。类型2．型思路：利用累乘法,将各式相乘得，，即得.例4．在数列中，，，求通项.解：由条件等式得，，得.【评注】此题亦可构造特殊的数列，由得，，则数列是以为首项，以1为公比的等比数列，得.例5、设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁解：原递推式可化为：=0∵＞0，则……，逐项相乘得：，即=.练习：1、已知：，（）求数列的通

3、项。2、已知中，且求数列通项公式。-10-类型3、型思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列是以为首项，以为公比的等比数列.1.（A、B为常数）型递推式可构造为形如的等比数列。2.型递推式可构造为形如的等比数列。3.C为常数，下同）型递推式可构造为形如的等比数列。例6．数列满足，求.解：设，即对照原递推式，便有故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列。，即通项【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“”作适当的分离，配凑成等比数列的结构，从而构造出一个新的等比数列。练习：1、已知满足，求通项公式。2、已知中，，（）求。[同类变

4、式]1、已知数列满足，且，求通项分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列，即，解得求得-10-2、已知：，时，，求的通项公式。解：设∴解得：∴∴是以3为首项，为公比的等比数列∴∴3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+…+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。-10-4.已知数列的前项和满足①写出数列的前3项；②求数列的通项公式.解：（1）由，得.由,得,由,得(2)当时,有,即①令,则,与①比较得,是以为首项,以2为公比的等比数列.,故5、已知数列满足，求数

5、列的通项公式。解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，得⑤由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。-10-类型4、取倒数例8、已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。解：将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.例10、，求解：即则例11、数列中，，，求的通项。解：∴设∴∴∴……     ∴∴类型5、取对数法例12若数列{}中，=3

6、且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁-10-解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即.类型6、平方（开方）法例13、若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是.解将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。七、利用数学归纳法求通项公式例12已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当n=1时，，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即，则当时，-10-由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据（1）（2）可知，

7、等式对任何八、利用换元法求通项公式例13已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化-10-形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。九、利用不动点法求通项公式例14已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可

8、知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项例15已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则x=1是函数