递推公式为分式型数列的通项问题探究

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1、递推公式为分式型数列的通项问题探究对于形如递推公式为色=仙-

2、+3（ChO,AD-BC^O）的数列｛atl｝f这类问Cd”—+D题有一般性的公式解法，通常用特征方程求不动点，即先求解递推公式所对应的特征方程,求出不动点，然后再解。虽然这类题本身有特征方程求不动点等的知识背景，但高考题并不考，也不依赖于这知识，从所给的标准答案来看，其立意在于将递推数列求通项问题转化为已知数列的已知知识来解决，即转化为等差数列或等比数列来解决。那么，有没有不用高等数学知识，而只用高屮数学知识的方法？这类问题是否存在通项公式？若存在乂怎

3、么來求？下面通过具体例子介绍一种方法，仅供参考！例题例题1：（2010年全国高考数学理科第22题）已知数列｛陽｝中，a｝=〜+】%一2求数列｛$｝的通项公式;（II）求使不等式％

4、—2=2=—2J2仇亦即再倒数即：一-—二上一+2匕+1_2%_2仇防4仇+2,下一步再变形:=4(bn+-I3丿,所以脸+

5、｝是首项为公比为4的等比数列，进而可求出数列｛仇｝的通项公式。（II）略例题2：（2008年全

6、国高考数学陕西卷理科第22题）已知数列｛色｝的首项a,=

7、,伉“+严2；"；$'n=l，2,3…（i）求仏｝的通项公式；一，11（2、（ii）证明：对任意的x>0,a三—x,n=l,2,3••-”1+兀（1+X）2&丿(iii)证明：勺+禺+••・+%>上【H+1分析:(i)由an+i=5两边同时加上2,2^+1(3+22)d+A得色+l+Q=l丿”2/1倒数得W+2(3+2小”+2—丄22、3+22丿—+2;'+3+22令是"(目的使分母成P+几”眦得久=0,或A=—1,不妨取2=0,于是有土Y+右变形土—q丄-

8、112,乂一-1=—,所以，数列5丄-1[是”3+2/12112123"以—为首项，一为公比的等比数列。于是：有一—1==—，得色=[—33an33,,_13"3”+2(ii)略例题3：(2007年全国高考数学理科试卷第22题)：己知：数列｛%｝中，a〕=2,%+]=(血一1)(°“+血)，n=,2,3•••(I)求匕｝的通项公式;(II)若数列｛仇｝中b、=2,乞+】=—,〃=1,2,3••-证明：/2

9、首项为2-V2,公比为血-1的等比数列所以an=y/2(V2-l)l,斤=1,2,3•••“)对％严器两边同时加兀得：仇#+x二逆上+x；W：bn^+X=(2x+3)^+3x+4n+,2仇+3冈2仇+3倒数：_!—=2仇+3仇+i+兀（2x+3）仇+3x+432（3x+4）2兀+3（2兀+3）2].3x+4h+——”2x+32H2x+3（1）3Y4-4可令：2冇，目的是使分母变成P+龙”型则（1）式可化为一!—=土空•一^+」一bnU+x2%+3hn+x2x+3（2）得x=±V2;不妨取x=_迥则(2)式可变为b

10、十迈3-2^2叽-近3-2V2即：（V2+1“•—^+2它是形如“汕巳耳+厂的式子；易求b,厂迈=(V2+1)-1所以：bt=421+24—2-1;显然，仇〉血。由（i）知：an-yfl（血-1）所以%_3=迈（V2-1）4/?-3于是:a4n_315—3（逅+1厂（Q+1广Ji1+1一、一30+1）-近2+1=V21[血+1厂所以，b”W%一3综上可知,VbnW勺心，n=l92,3…探求:对于色+i::”；：(ChO,4・D-B・ChO)型通项公式的方法可以推广到一般，结果总结如下:对于色零两边同时恥，得：…雷+

11、xn-BP：暫(4+Cx)an_{+(B+Dx)+x=Can-+D倒数:川-1■“an+x(A+Cx)aH_}+(B+Dx)即:c1&+++(B+£>x)]+D-C(B+Dx)A+Cx(A+Cx)an_{+(B+Dx)所以：—an+XDC{B+Dx)A+CxC+A+Cx即：①+XDC(B+Dx)A+Cx(A+Cx)21Cx1、B+DxA+Cxan

12、+A+Cx为了使上述等式左右成“一^”形式，可令色竺an+xA+CxWJ：1_D-Cxan+xA+CxCA+Cx(*)(ChO)由方程船"得：方程有解的条件为：（A—

13、D）2+4BC$0在此条件下可求出该方程解：X,,x2;不妨令X=Xj.[、]1D—Cx}1C贝

14、J(*)式可变为：=x1an+兀1A+Cx{an_x+兀】A+Cx,则仇=P+q（其中〃D—CX

15、A+Cx}11an-l+K对于上述数列｛bfl｝是很容易求出它的通项公式的。即可求出数列｛讨丁｝的通项。进而求出数列｛色｝通项公式來。以上方法尽管和对较麻烦些，但它