数形结合在集合和函数解题中应用

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1、数形结合在集合和函数解题中应用摘要：在高中数学中，数形结合是一种普遍运用的重要思想及方法•教师在教学中经常引导学生创设"数形结合”的情境，既可以沟通数与形的内在联系，把代数式的精确描述与几何图形的直观表达有机的结合起来，以寻找到解题的思路方法，又可以有利于开拓学生的解题思路，发展学生的形象思维能力•本文结合高中数学集合、函数中的具体题目，对数形结合的应用进行简单介绍，为当前教学以及学生学习提供借鉴.关键词：数形结合；高中；集合；函数；解题数学所关注的是实物的数量关系和空间形式•换言之，数学研究的是数和形

2、.我国著名的数学家华罗庚有诗云：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难入微•数形结合百般好，隔裂分家万事休•切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离这充分说明了数与形之间存在内在的本质联系•而中学数学中代数与几何这两个分支课程，也说明了数与形两者间的天然联系，在这样的大前提下，数形结合的方法便很自然而然的产生了.数形结合，从字面的意思来理解，就是指在解决抽象数学问题的过程中，借助图形的良好表达力，将数学关系用图形方式直观反映出来，进而更清楚、更简洁地寻找到问题的答案.用数形结

3、合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质、把握数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾.要做到数形结合，就是要做到“以形助数”、“以数助形”.经由数到形、形到数的一一对应的转化，达到优化解题过程的目的•通过对近些年来高考试题的考察分析，我们可以发现其中的很多题目都能够通过数形结合方法加以简化，并得到更快捷的解决方法.然而，在数形转化、结合的过程中，必须要遵循下述原则：1•等价原则：2.数形互补原则：3.求解简单原则.在教学

4、渗透“数形结合”时，教师应指导学生掌握以下几点：1•善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系.2•正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系.3•切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图.下面，本文就数形结合在高中数学集合、函数题目中的应用进行具体阐述.1.运用数形结合解决集合问题集合是高中数学中的基础知识，它充分体现了高中数学不同于初中数学的理念•并且，集合知识无论是在内在关系(即交集、并集、补集等)上，还是在外在的表达式(如A,B,C)上，都暗含着图形的意味.运用数形结合方法解决集合问题，

5、实际上就是将抽象的数学关系转化成为具体的、形象的图形关系，从而使之能够帮助学生更加直观地认识集合与集合之间的包含、交叉等关系.在解题的过程当中，数轴和文氏图是最常用的两种图形表达方式•数轴通常会用于处理具有模糊意义的集合问题，比如在对两个集合A、B的包含关系进行条件判定时，涉及到不等式的符号运算，就可以将两个集合的关系反映在同一个数轴上，并在相应的点上进行代数式的标注，这样很容易就能反映出各个代数式之间的大小运算关系，进行通过列不等式组的方法解决集合的运算问题；而对于韦恩图来讲，则会用于处理较为具体化的

6、集合问题尤其是数型集合问题.1.1利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴(Numberaxis)o所有的实数都可以用数轴上的点表示，因而可以用数轴表示不等式形式的集合，如：例1设集合M=x

7、OWx+n(APBnC)=48即：28+25+15-8-6-7+n(AABAC)=48所以n(AGBQC)=1即同时参加数理化小组的有1人.2.运用数形结合解决函数问题2.1运用数形结合思想解决函数取值范围问题例4f(x)=2-x-l,xW0xl2,x>0,若f(xO)>

8、1,则xO的取值范围是()A-1,1B-1,+ooC—OO,-2U0,+ooD—OO,-1U1,+oo分析：本题中的函数是分段函数，判定使函数值大于某个数时自变量的取值范围，最直观简洁的方法就是画出图象，因而将1看成函数y=l,f(xO)>1的解，即f(x)的图象在y=l的图象上的部分所对应的横坐标的集合.解：如图4,在同一坐标系中，作出函数y二f(x)的图象和直线尸1,它们相交于(T,1),(1,1)两点图4由f(xO)>1,得xOl,故选D2.2运用数形结合解决求函数极值和最值问题关于极值与最值的问

9、题在中学教学中占有很大比重，无论是在初中还是在高中它的知识点所渗透的数学思想方法，对于培养学生的观察能力、空间逻辑思维能力以及想象能力都具有举足轻重的地位.在初中其考查的题型有很多，主要有定量问题、定形问题、几何极值问题和简单的函数问题.在高中它的分量就显得更为重要，主要是求函数的极值和最值•在高中数学中求函数的最值是研究函数性质的一个尤为重要的方面，尽管它严格的理论指导需要借助高等数学知识，但由于其涉及的知识面宽、应用广泛、方法灵活、训练