数形结合在高考解题中应用

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1、数形结合在高考解题中应用【摘要】数与形是数学中两个最古老的，也是最基本的对象，也是数学中两个最古老、最基本的问题，二者之间是密不可分的。数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题的方法，而应作为一种基本的，重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从数与形的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。【关键词】数形结合单位圆导数函数方程复数每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的

2、描述。著名数学家华罗庚曾说过："形缺数时难入微，数少形时难直观。”就准确而生动的说明了这一点。因此在解题时有意识的将二者结合起来，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义，而形的问题借助数去思考，分析其代数含义，使数量关系和空间形式巧妙机智地结合越来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决。在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求

3、完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。它的本质是“以形助数，以数定形”，数学家华罗庚曾言：'‘数形结合百般好，割裂分家万事休。”高考试题常以下列方式出现：①研究方程根的情况；②讨论函数的值域；③求变量的取值范围；④解不等式。1.韦恩图韦恩图是解决集合运算问题常用的工具，还可证明一些常用的恒等式，如AQB二AUBA二B,A=AABABB=AUB,CU(AAB)=CUAUCUB,CU(AUB)=CUAQCUB等。例1.

4、某班50人中，参见数学竞赛的25人，参加化学竞赛的32人，求既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数的最大值和最小值。解：设两科都参加的人数是x人，则参加化学竞赛和参加数学竞赛的人数分别是32-x,25-x根据题意的实际意义得：32-x$025-x2025-x+32-x+x20,解不等式可得7WxW25例2：有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28,25,15,同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人,问同时参加数理化小组的有多少人？分析：我们可用圆A、B.C分别表示参

5、加数理化小组的人数(如右图)，则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数•用n表示集合的元素，则有：n(A)+n(B)+n(C)~n(AAB)-n(AQC)-n(BAC)+n(AGBGC)=48即：28+25+15-8-6-7+n(AABAC)二48An(AABAC)=1,即同时参加数理化小组的有1人2.数轴利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题例3：(1)已知集合A二{x

6、

7、x

8、W2,xGR},B={x

9、x^a},且AB,则实数a的取值范围是.解析：(1)aW-2；•・・A={x

10、-2WxW2},B二{x

11、x$

12、a},又AB,利用数轴上覆盖关系，因此有aW~2.点评：利用韦恩图和数轴可以直观地解决集合问题利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题.例4：设A={x

13、x2-16因为sinxWl,lgxWl所以00且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0所以F(x)在(―,0)上是增函数因为f(X)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以F(x)为奇函数又g(-3)=0所以F(-3)=f(-3)g(-3)=0又f(x)是奇函数，所以f(0)=0故F(0)=0根据以上特点，不妨构造如图4所示的符合题意的函数F(x)的图象，由

14、图直接观察出所求解集是(-8,-3)U(0,3)故选Do由上几例可知，在不等式的教学或复习中要有意识注意数形结合思想方法的渗透。7.利用单位圆中的有线段解决三角不等式问题在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像。如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题，简便易行。例14：解不等式sinx>-12.分析：因为正弦线在单位圆中是用方向平行于y轴的有向线段来表示•我们先在y轴上取一点P,使0P=-12，恰好表示角x的正弦线sinx=-12,过

15、点P作轴的平行线交单位圆于点Pl,P2,在［-1:2,3口2］内，0P1,0P2分别对应于角7“6,-Ji6(这时所对应的正弦值恰好为T2).而要求sinx>-12的解集，只需将弦P1P2向上平移，使OPl,0P2重合（也即点P向上平移至与单位圆交点处）.这样OP1,OP2所扫过的范围即为所求的角•原不