第三讲余数问题

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1、第三讲余数问题基础知识一、巧算余数的方法：(1)主要思想：被除数去掉或者添上除数的倍数，不会改变余数。(2)余数的特征：2，3，5，7，9，11，13，4，8，25，125。(3)在加，减，乘的混合运算中如何去求余数，两数之和的余数等于两数余数的和，两数之积的余数等于两数余数的乘积。二、了解同余符号，和有关的性质，掌握“韩信点兵”问题的解法。例题1.一个两位自然数去除375，余15，这个数可能是________________；（36）解答：375－15＝360，这个两位数一定是360的约数，且大于15（除数比余数大）。那

2、么这个数为：90，72，60，45，40，36，30，24，20，18.（1732）2.一个三位数，被17除余5，被18除余12，那么它可能是________________；一个四位数，被131除余112，被132除余98，那么它可能是________；解答：设此三位数为17a+5=18b+12.可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除，b=10,27,44.这个三位数为192，498，804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除

3、，y=14，145（太大）这个四位数是19463.甲、乙、丙三个数分别为603，939，393。某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。A是________；解答：如果A除丙所得的余数是1份的话，那么A除乙所得余数就是2份，A除甲所得的余数就是4份。把2乙-甲，则没有余数，即2乙-甲使A的倍数；同理乙-2丙也同样没有余数，是A的倍数。939×2-603=1275，939-393×2=153A是1275和153的公约数，而1275与153的最大公约数是51，所以A可能是1，3，

4、17，51再实验得到A为17，余数分别为8、4、2。5/5（1732）1.1）今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物最少几何？（23+105k）2）一个数除以7余3，除以11余7，除以13余4，符合此条件的数最小是________；如果它是一个四位数，那么最大可能是________；解答：（1）此数除以3余2，除以5余3，除以7余2，满足条件最小数是23（2）满足除以7余3，除以11余7的最小数为73，设此数为73＋77a=13b+4,69－a=13b.a最小等于4.满足条件的最小数是381.设最大

5、的四位数为381＋1001x,最大的四位数为9390.（1732）2.今天周一，天之后是星期________；这个数的个位数字是________；天之后是星期________；解答：只要求出÷7的余数就可以知道天后是星期几。≡52007（mod7），56≡1(mod7)2007≡３（mod6）,≡52007≡５３≡６（mod7）　　s所以天之后是星期日2007的个位数字是720072的个位数字是920073的个位数字是320074的个位数字是120075的个位数字是1（1732）20076的个位数字是7（1732）。。。。

6、可以看出个位数字是4个一循环，2007÷4＝501….3,的个位数字是3.（1732）=2007×2006×2005×….×669÷3668算式2007×2006×2005×….×669中因数3的个数为：[]+[]+[]+[]+[]+[]－[]－[]－[]－[]－[]＝669＋223＋74＋24＋8＋2－222－74－24－8－2＝670.=2007×2006×2005×….×669÷3668的余数为0.=2007×2006×2005×….×669÷3668÷7的余数也为0.5/5所以天之后是星期一。（1732）1.求除以

7、9、11、99、101、999、1001、13和91的余数分别是多少；解答：9：除以9的余数是0，11：一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5.2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5×2007。≡5×2007≡3（mod11）,所以除以11的余数是399：能被9整除，被11除余3的数最小是36，所以除以99余36200720072007能被7，13，37整除。999＝27×371001＝7×11×1391＝7×1313：≡0（mod13）除以13余091：≡0（mod91）除以91余0所以

8、除以13，91，999的余数都是0.1001：除以11余3，除以7，13余0，满足次条件的最小数是1092，1092除以1001余91.所以除以1001的余数是91.101：我们发现9999=101×99，所以=0000+2007=×10000+2007=×9999++2007≡+2007（mod101