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时间:2019-05-29
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1、五年级春季班第十三讲余数问题(二)曹威第十三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲,但那两讲主要都是应用余数性质去解决除法中的除数问题,今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。本类形题的出题特点:已知两种或三种除数和余数的情况,求同时满足这些情况的被除数是多少。例如:一个自然数除以4余3,除以9余4,除以6余1,求满足条件的最小三位数?本类形题的解题方法:根据余数的基本含义有:公倍加余法和公倍减余法。根据同余的性质有:逐级满足法。一、公倍加余法例:求满足除以3余1,除以4余1的最小两位数?分析:根据余数的定义我们知道,余数表示被除数除以除数时
2、没有除尽,还多出来的一些数,所以满足除以3余1的数,应该都是3的倍数再加上1即可;同理,满足除以4余1的数,应该都是4的倍数再加上1即可。那么如想两个都满足,我们只需要找到3,4的最小公倍数再加上这个都有的余数1就可以了,所以最小的两位数即为[3,4]+1=12+1=13二、公倍减余法例:求满足除以3余2,除以4余3的最小两位数?分析:根据余数的定义我们知道,这个数除以3余2,说明还差1个数就又是3的倍数了,则这样的数应该都是3的倍数再减1即可;同理,满足除以4余3的数,也是还差1个就又是4的倍数了,则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。那么如想两个都满足
3、,我们只需要找到3,4的最小公倍数再减去1就可以了。所以最小的两位数即为[3,4]-1=12-1=11第十三讲余数问题(二)13.1五年级春季班第十三讲余数问题(二)曹威三、逐级满足法例:求满足除以7余2,除以4余1,除以11余4的最小自然数?分析:此题没有余数相同的,也没有差相同的,则上述两种方法均不可用。那么我们可以根据同余的性质逐级满足,最后求出同时满足三种情况的最小自然数。过程如下:(1)满足除以7余2的数应该是7a+2这样的数,但这样的数又要除以4余1。说明:7a+2除以4是余1的,即:7a+2≡1(mod4)7a+2≡5(mod4)7a≡5-2
4、≡3(mod4)3a≡3(mod4)a=1则满足前两种情况(除以7余2,除以4余1)的最小数为:7×1+2=9则满足前两种情况(除以7余2,除以4余1)的所有数为:[7,4]×b+9(2)那么满足除以7余2,除以4余1应该是28b+9这样的数,但这样的数又要除以11余4。说明:28b+9除以5是余4的,即:28b+9≡4(mod11)6b+9≡4(mod11)6b≡15-9≡6(mod11)b=1则满足三种情况(除以7余2,除以4余1,除以11余4)的最小数为:28×1+9=37第十三讲余数问题(二)13.2五年级春季班第十三讲余数问题(二)曹威例题讲解:
5、1、公倍加余法例1、分析:此题并不是最基本的应用最小公倍数再加上余数即可的余数问题,因为除以3和4的余数分别为2和1,余数不同,但为什么还属于公倍加余法呢?是这样的。除以3余2的数难道只有2吗?不一定,还有5、8、11„,同样除以4余1的数除1以外还有5、9、13„,。我们发现两组数中都有5,即原题我们可以认为:“除以3余5,除以4余5的数”。则这个数最小就是5本身,则除以12以后余数还为5.提高练习:(1)一个自然数除以49余23,除以48也余23,那么这个自然数被14除余几?提示:这个被除数即为23.答案:余数为9.(2)1~2009之间同时被3,5,
6、7除都余2的数有几个?提示:[3、5、7]=105的若干倍再加上2。但不要忽略了余数2本身。答案:20个。(3)一个数除以3余2,除以5余3,那么这个数除以15的余数是多少?提示:3×2+2=5+3=8,则可认为:除以3余8,除以5余8答案:8(4)一个教练数田径队的学生,每4个一数,最后剩下2人;每5个一数,最后剩下1人,田径队女生比男生多,女生有15人,男生有多少人?提示:4+2=5+1=6,则可认为:除以4余6,除以5余6答案:11人。(5)有一个三位数,其中个位上的数是百位上的数的3倍,且这个三位数除以5余4,除以11余3,则这个三位数是多少?提示
7、:5×2+4=11+3=14,[5、11]×a+14=55a+14.从而判断出个位只能为4或9.个位为4百位无数,个位为9百位为3。则次数可求。答案:3992、公倍减余法例2、分析:两个都是还差3个数就整除的了,则同时满足“除以11余8,除以13余10”的最小自然数为[11、13]-3=143-3=140。又因为140<200.则所求答案即为140.提高练习:(1)顺次写出除以4余2,除以5余3的三个数?提示:都差2个就整除了。[4,5]的若干倍在减2即可。答案:18,38,58.3、逐级满足法热身练习:一个自然数除以19余9,除以23余7,那么这个自然数
8、最小是几?分析:满足“除以23余7”的数应为:23a+7的形式,但
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