余数问题(二)

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1、五年级春季班第十三讲余数问题（二）曹威第十三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应用余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满足这些情况的被除数是多少。例如：一个自然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满足条件的最小三位数？本类形题的解题方法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。根据同余的性质有：逐级满足法。一、公倍加余法例：求满足除以3余1，除以4余1的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表示被除数除以除数时

2、没有除尽，还多出来的一些数，所以满足除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满足除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最小的两位数即为[3,4]+1=12+1=13二、公倍减余法例：求满足除以3余2，除以4余3的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就又是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满足除以4余3的数，也是还差1个就又是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。那么如想两个都满足

3、，我们只需要找到3,4的最小公倍数再减去1就可以了。所以最小的两位数即为[3,4]-1=12-1=11第十三讲余数问题（二）13.1五年级春季班第十三讲余数问题（二）曹威三、逐级满足法例：求满足除以7余2，除以4余1，除以11余4的最小自然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种方法均不可用。那么我们可以根据同余的性质逐级满足，最后求出同时满足三种情况的最小自然数。过程如下：（1）满足除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数又要除以4余1。说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2

4、≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最小数为：7×1+2=9则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满足除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数又要除以11余4。说明：28b+9除以5是余4的，即：28b+9≡4（mod11）6b+9≡4（mod11）6b≡15-9≡6（mod11）b=1则满足三种情况（除以7余2，除以4余1，除以11余4）的最小数为：28×1+9=37第十三讲余数问题（二）13.2五年级春季班第十三讲余数问题（二）曹威例题讲解：

5、1、公倍加余法例1、分析：此题并不是最基本的应用最小公倍数再加上余数即可的余数问题，因为除以3和4的余数分别为2和1，余数不同，但为什么还属于公倍加余法呢？是这样的。除以3余2的数难道只有2吗？不一定，还有5、8、11„，同样除以4余1的数除1以外还有5、9、13„,。我们发现两组数中都有5，即原题我们可以认为：“除以3余5，除以4余5的数”。则这个数最小就是5本身，则除以12以后余数还为5.提高练习：（1）一个自然数除以49余23，除以48也余23，那么这个自然数被14除余几？提示：这个被除数即为23.答案：余数为9.（2）1～2009之间同时被3,5,

6、7除都余2的数有几个？提示：[3、5、7]=105的若干倍再加上2。但不要忽略了余数2本身。答案：20个。（3）一个数除以3余2，除以5余3，那么这个数除以15的余数是多少？提示：3×2+2=5+3=8，则可认为：除以3余8，除以5余8答案：8（4）一个教练数田径队的学生，每4个一数，最后剩下2人；每5个一数，最后剩下1人，田径队女生比男生多，女生有15人，男生有多少人？提示：4+2=5+1=6，则可认为：除以4余6，除以5余6答案：11人。（5）有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3，则这个三位数是多少？提示

7、：5×2+4=11+3=14，[5、11]×a+14=55a+14.从而判断出个位只能为4或9.个位为4百位无数，个位为9百位为3。则次数可求。答案：3992、公倍减余法例2、分析：两个都是还差3个数就整除的了，则同时满足“除以11余8，除以13余10”的最小自然数为[11、13]-3=143-3=140。又因为140＜200.则所求答案即为140.提高练习：（1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数？提示：都差2个就整除了。[4,5]的若干倍在减2即可。答案：18,38,58.3、逐级满足法热身练习：一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数

8、最小是几？分析：满足“除以23余7”的数应为：23a+7的形式，但