初二四边形复习

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1、一、旋转【例1】（2009平谷一模改编）如图，在直角梯形中，，，，是上一点，且，，求的长．【例2】如图，正方形被两条与边平行的线段分割成个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的倍，试确定的大小，并证明你的结论．（2009房山二模）⑴如图1，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：；⑵如图2，在四边形中，，，分别是边上的点，且，⑴中的结论是否仍然成立？不用证明．⑶如图3，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【例1】如图，正方形内有一点，，，.（1）求的长；（2）求的大小；（3）求

2、正方形的边长.【例2】（2008湖北罗田改编）在中，，，以斜边为一边作正方形，正方形的中心为，求的长．【补充】已知正方形，在边上取一点，作交的外角平分线于，求证：．二、平移【例1】（2007年101中学期中考试）如图（1），四边形中，若，则必然等于.请运用结论证明下述问题：如图（2），在平行四边形中取一点，使得，求证：.【例2】如图，向的外侧作正方形、．过作于，与交于．求证：．【例3】(07年北达资源期中试题)分别以的三边长为边长，在形外作正方形，，，连接，，．⑴若为任意三角形时，以，，为边能否构成三角形？为什么？⑵如果能，试探究以，，为边构成的三角形的面积与的面积关系．【解

3、析】1、延长到，使，连接，容易得到四边形是正方形．再延长到，使，连接，易证，∴∵，∴，∴，∴，∴．设，则．在中，，，解得，∴的长为4或6．【解析】2、设，连接，由四边形都是矩形，可知，，，，则由是正方形，可知由①得，平方得，将②代入得，∴，得．∵，∴，即．延长到，使得，连接，则，那么，，∴，∵，∴，∴，即．【解析】2、、、⑴延长到，使，连接．∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．∵，∴．⑵⑴中的结论仍然成立．⑶结论不成立，应该是．在上截取，使，连接．∵，，∴．∵，∴，∴．∴，∴，∴．∵，∴．【解析】3、（1）由例5可知，又，，，故（2）将绕点顺时针旋转，使于重合.设此时点位于点处，

4、则有≌∴，，∵∴∵∴∴（此时有、、共线）（3）过点作，垂足为.∵，，∴∴【解析】4、在作正方形的过程中，并没有说明是向哪个方向作，所以此题需分类讨论．⑴以为边向外作正方形，如图延长到，使，连结可证则，是等腰直角三角形所以．⑵以为边向内作正方形，如图在上截取，连结可证则，，所以．【解析】4、、解法一：如图，连接，过作，交于．∵，，∴．又∵为等腰直角三角形，∴．又，，∴，∴，故．解法二：如图，过作，交的延长线于，连接，则，∴，∴．而，∴．又，，∴，有，∴．【解析】5、观察图（1）可知，如果四边形中，同一条边对应的两个张角相等，则其他边对应的两个张角也相等.这就是对已知条件的一种“

5、翻译”.然后再根据这个“翻译”去解题.图（2）中没有可以直接运用该条件的图形，我们可以通过辅助线来构造出这样的环境.分别过点、作，，交于点，连接.∵，∴，，，∵，∴，∴为平行四边形∴∵∴≌∴在四边形中，∴∴【解析】6、(法1):如下左图，延长至点，使得．连接．∵，∴∵，∴∴，同理∵，，≌∴，∴≌，∴，即．(法2):过点、分别作的垂线，垂足为、．证明≌，≌，≌即可．(法3):如上右图，过点作的平行线，交的延长线于点，连接∵∥，∴又∵，∴，∴又∵，∴∵，∴，∴又∵，∴≌∴，∵∥，，∴∴四边形是平行四边形，∴，故【解析】7、⑴过点作的平行线，过点作的平行线，交于．连接、．∵，，∴，

6、∵，，∴∵，∴∵，∴≌，∴，∴为平行四边形，故以，，为边能构成三角形．⑵连接．∵，，∴∵，，∴≌∴，同理∵，，∴∵，，∴(可通过倍长一边来证明)同理，，故．