三角函数公式大全及推导过程

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1、三角函数公式大全及推导过程—、任您片的三甬函数在角Q的终边上任鸭一点P(x,y)，记：r=yjx2+y2,正弦：sina=—余弓玄：cosa=—正切：tan«=—rrx二、同用三斤函数的基本关系式商数关系：tan«=S^na,平方关系：sin2cif+cos2«=1,cos2a—cosa1+tana三、诱导公式公式一:设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kjr+a)二sinacos(2kn+a)=cosatan(2kjr+a)=tana公式二：设a为任意角，R+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin(r

2、c+a)二・sinacos(n+a)=-cosatan(n+a)=tana公式三：任意角a与・a的三角函数值Z间的关系：sin(・a)=-sinacos(・a)=cosatan(-a)=-tana公式四：利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系：sin(rc・a)二sinacos(n-a)=-cosatan(n・a)=-tana公式五：利用公式■和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系:sin(2ir・a)=-sinacos(2n-a)=cosatan(2ii・a)=-tana公式六：兰士a及西±a与a的三角

3、函数值之间的关系：22sin(--a)=cosa2cos(仝・a)=sina2sin(兀、—+a)=-cosacos(—+a):=-sina22✓3q、/3兀、sin(——a)=-cosacos(a)==-sina223龙、z3/r、sin(——+a)=-cosacos(——+a)==sina22三、两甬和差公式sin(a+0)=sina・cos0+cosa・sin0sin(a-0)=sina-cos/7-cos^z-sin卩cos（q+0）=cos6z-cos/?-sina-sinJ3cos（cif一0）=cosa•cos/?+sin

4、a•sin0仙@+0）="眩+伽01-tancif•tan/?tan<7-tan/?1+tana・tan0二倍甬公式sin2a=2sina8sacos2q=cosP—sirTa=2cos~a—l=1—2si”a…（*）宀2tanatan2a=；—1一tarra二倍角的余弦公式(*)有以下常用变形：(规律：降幕扩角，升幕缩角)1+cos2a=2cos2a1-cos2a=2sin2a1+sinZz=（sina+cosQ）21-sin2a=（sin^z-cosa）2其它公式五、辅助甬公式：asinx+bcosx=J/+戻sin（x+0）（其中

5、tan©=—）a其中：角卩的终边所在的象限与点S,b）所在的象限相同，（以上kez）六、其它公式：1、正弦定理：一£_=_2_=_d=2R（/?为AABC外接圆半径）sinAsinBsinC2、余弦定理a1-b1+c1-2bc-cosAb2=a2+c2一2ac'cosBc2=a2+b2-2ah-cosC3、三用形的面积公式Swc=—xxS^bc=—absmC=—bcsinA=—easinB（i两边一夹角）万能公式推导sin2a=2sinacosa=2sinacosa/(cos"2(a)+sin"2(a))*,(因为cost(a)+sin

6、"2(a)=1)再把*分式上下同除cos"2(a),可得sin2a=2tana/(l+tarT2(a))然后用a/2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式推导tan3a=sin3a/cos3a=(sin2acosa+cos2asina)/(cos2acosa-sin2asina)=(2sinacos2(a)+cos2(a)sina—sin3(a))/(cos3(a)—cosasin2(a)—2sin2(a)cosa)上下同除以cos八3(a),得：tan3a=(3tana—tan3(a))/

7、(1-3tan2(a))sin3a二sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sinacos2(a)+(1—2sin2(a))sina=2sina—2sin3(a)+sina—2sin3(a)=3sina—4sirT3(a)cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa—sin2asina=(2cos*2(a)—1)cosa—2cosasirT2(a)=2cos3(a)—cosa+(2cosa—2cos"3(a))=4cos3(a)—3cosa即sin3a=3sina—4sin3(a)cos3a=4cos3(a)

8、—3cosa和差化积公式推导首先，我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a~b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a~