第11章无穷级数补充题答案

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1、§IM1.判断级数£理二的收敛性，若收敛求其和.n=l解：考虑级数的部分和◎(-1)1F1-1=1由于1-(-才“2limsn=limf—=—,“TOO/I->0013]+—22故该级数收敛，且其和为亍2.判定级数£右1的收敛性.H=i33^-1解：limun=lim=1工0iniy通项不以0为极限，从而该级数发散.3.判断级数£（厶2+卄1_孔）的收敛性./

2、=1解:=vw2+w+l—w=由于lima”=1工0不满足级数收敛的必要条件，所以级数发散.“T82§11-2811.判定级数£4wsin—的收敛性.,1=184"tang解：因为lim=1,"

3、Too4"根据比较审敛法的极限形式知此级数收敛.而级数£鲁=£（弓"收敛'n=l8n=l22.判断级数£於71=1tan—〃丿的收敛性.jrrr解：因为lim叫=limnn(tan—)n=limnn(—)w=oo^0,所以通项不以0为极限,"T8/i—>00/JH—>00从而级数发散.3.判断级数£71=1□的收敛性.所以根据根值审敛法知(1)£(-1严n=21In7/300007-1n解：因为工宀发散，而工(-1)心亠为交错级数，其收敛，所以此级数是条In矿n=2件收敛.n=2解:因为lim皈"=limf—±—〃->8vn->ooV5此级数收敛.

4、4・判断级数是条件收敛还是绝对收敛(2)知)"炸吟.解：因为

5、—sin一

6、<—,而级数E—收敛，所以此级数是绝对收敛.n=2冗7Vn7Ve⑶其中g为常数.h=172解：令叫当

7、g

8、>l,5!!

9、limI1=

10、^

11、>1,lim

12、ww

13、#0,级数发散.n—>

14、n

15、〃T8当IgKl，£i叫i收敛n=l当g=l,因在n—>ao时,ii°°°°i«w=tan-=--=,故£叫与£刀=v7nn=ln=lvW都发散.0000当？=一1,

16、叫

17、递减且limww=0,工叫收敛,但工I叫I发散./i—>oo/:=1/t=l800所以，当gw(-qo,1)[1,-f

18、-oo),工叫发散；当-l

19、散，故级数/

20、=1/

21、=1£maxy”)也发散.n=000006.设级数£址，£尤都收敛，试证明£色代必绝对收敛，其逆定理是否成立？/l=ln=l/i=l为什么？888[[证明:已知£尤，£尤都收敛，则必+兀）收敛，由于-（a＞^）＞

22、«Abn=l/i=lw=l22由比较判别法知£

23、色仇I收敛，由此证得乞s绝对收敛.n=ln=l000000其逆定理不成立，即£i色仇I收敛，£必£尤却未必都收敛，举例如下:/l=lH=1/1=1(一1)“bfS

24、aAi=X

25、）三一的收敛半径与收敛域.解:因为p=lim

26、^-

27、=lim

28、71—>00nH—>00Un(T)"5f+1)」1（-ir，臥所以收敛半径/?=丄=5.P/i=i5n对于端点x=5,级数为交错级数£（-1）"“丄收敛;81对于端点x=-s,级数y（--）发散.為n因此，收敛域是（-5,5].2.求幕级数£如+1）疋的和函数./1=1解：先收敛域.十(卄1)(卄2)n(/i+l)在端点x=l处，幕级数成为£〃仇+1）发散；在端点x=-l处，幕级数成为/:=!£（-1）1“+1）发散.因此收敛域为z=（-M）・71=100设和函数为£(工)，即5(x)=^7

29、l(n+l)xn,XG(-1,1).n=l$(0)=0逐项积分，得J%(x)rfx=f；Sn=ln(n+l)xHdx8n(n+l)xndx=》nx,,+i71=18=x2^nxnXn=l00n=ls(x)dx)dxs(x)dx=((17)200所以为兀（兀+1）兀"/

30、=1=s(x)=[^r=2x(1-x)3§11-41.将（2+盯『展成x的幕级数.解：(2+盯)2=2+4『+戶=2+£1±^1兀"71=0心2.将函数/（兀）=丄展成（兀-1）的幕级数.6+x解:1116+x7+(x—1)71(-ir(x-ir7"§11-700（_1/i-11.将函

31、数f（x）=x2(i、"一1X兀匸(一1丿「1—=F〉-—-—COSHA-,Xe-7T,7l