第9章 无穷级数

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1、《高等数学》精品课程—〈微积分〉部分—电子教案第九章无穷级数§9.1数项级数教学目的：理解级数的概念和基本性质重　　点：级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数难　　点：有穷项相加与无穷项相加的差异以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为数项级数和函数项级数，数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础．1、数项级数的概念给定一个无穷数列，表达式　　　　　　　　　　(9-1)称为(数项)无穷级数，

2、简称(数项)级数，记为或，即＝，其中第项称为级数的一般项或通项．例如：；；都是常数项级数．等差数列的各项之和称为算术级数．第26页共26页《高等数学》精品课程—〈微积分〉部分—电子教案等比数列各项的和称为等比级数，也称为几何级数．级数称为－级数，当＝1时，称为调和级数．从以上实例可以看出：级数的和不一定存在，即使其和存在也不可能逐项相加得到．设级数(9-1)的前项和为　，(9-2)称为级数(9-1)的部分和．当依次取时，得到一个新的数列．数列称为级数的部分和数列．定义1如果级数的部分和数列有极限s，即（常数）,则称级数收敛，这时极限叫做这级数的和，并写成＝=．如果数列没有

3、极限，则称级数发散．显然，当级数收敛时，其部分和是级数的和的近似值，它们之间的差值　　　　　　(9-3)叫做级数的余项．用近似值代替和所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是．第26页共26页《高等数学》精品课程—〈微积分〉部分—电子教案例1　判别级数的收敛性．解　因为，．所以这级数收敛，它的和为1．例2　证明级数是发散的．证　级数的部分和为，显然，，因此所给级数是发散的．2、级数的性质由级数收敛、发散以及和的定义可知，级数的收敛问题，实际上就是其部分和数列的收敛问题，因此应用数列极限的有关性质，很容易推出常数项级数的下列性质：性质1　如果级数收敛于和，则级数（为常数）也

4、收敛，且其和为．性质2　如果级数、分别收敛于和、，则级数也收敛，且其和为．性质3　在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．性质4　如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数第26页共26页《高等数学》精品课程—〈微积分〉部分—电子教案　(9-4)仍收敛，且其和不变．注意　一个级数添加括号后收敛，原级数不一定收敛．例如，级数收敛于零，但去括号后所得级数是发散的．事实上，上式确定的级数的部分和满足．．如果加括号后所成的级数发散，则原级数也发散．事实上，倘若原级数收敛，则根据性质4知道，加括号后的级数就应该收敛，这是矛盾的．性质5(级数收敛的必要条件)　如

5、果级数收敛，则．证　设级数的部分和为，且，则．性质5告诉我们，当考察一个级数是否收敛时，首先应当考察当时，这个级数的一般项是否趋于零，如果不趋于零，那么立即可以断言这个级数是发散的．但要注意，的级数不一定收敛，即级数的一般项趋于零，并不是级数收敛的充分条件．例3　判定级数的收敛性．解　由于＝当时不趋于零，故发散．例4　讨论几何级数的收敛性，其中是公比．解　当时，部分和．由于，因此级数收敛，其和为．第26页共26页《高等数学》精品课程—〈微积分〉部分—电子教案当时，由于，因此级数发散．总之，几何级数当时收敛，时发散．例5　证明调和级数是发散的．证　假设级数收敛，设它的部分和

6、为，且．显然，对级数的部分和，也有．于是．但另一方面．故当时不趋于零，与假设级数收敛矛盾．故调和级数发散．注意对于调和级数，虽然有，但级数是发散的．小结：1．无穷级数＝其中叫通项．2．部分和，当存在时级数收敛，否则发散．3．四条基本性质：性质1-4．4．收敛的必要条件．§9.2　正项级数及其收敛法教学目的：理解正项级数的概念和性质重　　点：正项级数的各种收敛法，几何级数与P-级数第26页共26页《高等数学》精品课程—〈微积分〉部分—电子教案难　　点：比较判别法1．正项级数的概念设，则级数称为正项级数．正项级数比较简单而且重要，在研究其它类型的级数时，常常要用到正项级数的有

7、关结果．对正项级数，由于，因而，所以正项级数的部分和数列必为单调递增数列．若部分和数列有界，则由单调有界原理知数列必存在极限．反之，若正项级数收敛于，即，则数列必有界．由此得到下面的定理．2．比较判别法定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界．根据定理1，可得关于正项级数的一个基本的收敛法．定理2(比较判别法)　设和都是正项级数，且，(1)如果级数收敛，则级数也收敛；(2)如果级数发散，则级数也发散．由于级数的每一项同乘以不为零的常数，或改变级数的有限项，都不影响级数的收敛性，因此可得如下推论．推论设和都是正项级数