第7章无穷级数

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1、第7章无穷级数7.1数项级数的概念与性质一、数项级数的基本概念1.给定一个无穷数列a1,a2,a3,…,an,…则a1＋a2＋a3＋…＋an＋…叫做数项级数，简称级数，记作2.有限和式Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an称为级数的前n项部分和3.数列s1,s2,s3,…,sn,…称为级数的部分和数列。[定义7.1]若数项级数的部分和数列Sn的极限存在，即，则称此数项级数收敛，S称为该收敛级数的和。否则，则称此数项级数发散。例如，由无穷数列组成的级数，∵Sn＝∴级数是收敛的。例1判断几何级数的收敛性解：∵10当

2、q

3、＜1时，

4、当

5、q

6、＞1时，，当q＝1时，，当q＝－1时，Sn的极限不存在，因此，几何级数，当

7、q

8、＜1时收敛，当

9、q

10、≥1时发散。例2判断级数的收敛性例3判断级数的收敛性10例4判断级数的收敛性二、数项级数的性质[性质1][性质2][性质3]注意：新级数虽然仍是收敛的，但新级数的和与原来级数的和是不相同的。[性质4](收敛的必要条件)注意：上述命题是说收敛级数的通项必须趋向于0，否则级数一定不收敛，但通项趋向于0的级数不一定收敛。例如，前面的例2、例4的通项都趋向于0，但它们都不是收敛级数。107.2正项级数收敛判别法若数项级数

11、a1＋a2＋a3＋…＋an＋…中的每一项都是非负的，则该级数称为正项级数。正项级数的部分和数列是单调上升的，如果部分和数列有上界，那么部分和数列的极限就存在，该正项级数收敛。判别一个正项级数是否收敛，我们经常用下面两种方法。一、比较判别法[定理7.1]根据这个定理，我们判断一个级数是否收敛时，就可以用已知的收敛级数或发散级数为参照，通过比较它们各项的大小，来判断是收敛的还是发散的。例1判断级数的收敛性解：是正项级数，∵ln(1+x)

12、1时级数收敛。例4判断级数的收敛性10解：二、比值判别法例5判断级数的收敛性解：例6判断级数的收敛性解：例8判断级数的收敛性解：107.3任意项级数如果一个数项级数不是正项级数，则称为任意项级数。怎样判断一个任意项级数是否收敛呢？[定理7.3]级数中的各项正负相间的级数称为交错级数，交错级数的通项可以表示为(-1)n-1an或(-1)nan，其中的an即为该项的绝对值。关于交错级数收敛性的判别，经常用到下面这种方法。[定理7.4](莱布尼茨判别法)对于交错级数(其中an＞0，n=1,2,…),若满足则此交错级数收敛。例

13、1判断级数的收敛性。例2判断级数的收敛性。107.4幂级数一、幂级数的概念级数中的每一项都是常数的级数称为数项级数，而级数中的每一项都是函数的级数称为函数项级数。函数项级数形如f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)＋…，或记作为在函数项级数中以x＝x0代入其中的每一项，就得到一个数项级数。如果这个数项级数收敛，则x0称为此函数项级数的收敛点，否则称x0为此函数项级数的发散点。函数项级数的所有收敛点的集合称为它的收敛域。二、幂级数收敛域的求法具有如下形式的函数项级数a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…称为幂级数，或记

14、作为[定理7.5]⑴若x0是幂级数的一个收敛点，且

15、x0

16、＞0，则对于任意满足

17、x

18、＜

19、x0

20、的x，级数收敛。⑵若x1是幂级数的一个发散点，则对于任意满足

21、x

22、＞

23、x1

24、的x，级数发散。定理7.5表明，假如一个幂级数在正实数范围内不存在发散点，那么它在整个实数域内都收敛；假如一个幂级数在正实数范围内不存在收敛点，那么它只在x＝0点收敛。假如在正实数范围内同时存在收敛点x1和发散点x2，显然x1＜x210，那么一定存在一个正数R，使得对于满足

25、x

26、＜R的x，级数收敛，而对于满足

27、x

28、＞R的x，级数发散。区间(-R,R)称

29、为幂级数的收敛区间，R称为收敛半径。R＝+∞，表示幂级数在整个实数域内都收敛；R＝0，表示幂级数只在x＝0点收敛。怎样去求一个幂级数的收敛半径呢？[定理7.6]对于幂级数，如果存在或为无穷大，记，则收敛半径，当ρ＝0时R为+∞，当ρ为+∞时R＝0。例1求幂级数的收敛域例3求幂级数的收敛域如果，幂级数为如下形式：a0＋a1（x-x0）＋a2（x-x0）2＋…＋an（x-x0）n＋…，或记作为,其收敛半径为R，则其收敛域为(x0-R,x0+R)。10例4求幂级数的收敛域三、幂级数的性质设幂级数的收敛域为I，则记称为幂级数的

30、和函数。例如，幂级数1＋x＋x2＋…＋xn＋…的收敛域为(-1,1)，其和函数为，即：幂级数的和函数在收敛区间内具有如下一些性质：[性质1]幂级数的和函数在其收敛域内是连续的，即：这表明求极限的运算与求和的运算可以交换顺序。[性质2]幂级数的和函数在其收敛域内是可微的，即：这表明幂级数在其收敛域内可以逐项求导。[性质3]幂级数的和