无穷级数自测题提示与答案

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1、六、自测练习题提示与解答1.由于上式两边对x求导数得当时，即有应填4．2.由于级数的收敛半径为：收敛区间为当时收敛；当时发散.级数的收敛域为应填3.由于所以又由于则有即有当时，发散；当时，发散．级数的收敛域为应填4.由于即有所以该幂级数的收敛半径为应填5.时由阿贝定理知时幂级数绝对收敛，所以该幂级数的收敛半径为4．应填4．6．在处条件收敛，则的收敛半径为2．由于只有偶次幂的项，故其收敛半径为收敛区间为又由于在处都收敛，故所给幂级数的收敛域为应填117.收敛半径显然只有当时上式成立．故应填．8.依题意知所给三角级数是对函数作周期为2的奇开拓的傅立叶级数，所以有应填9.应选(A).用

2、排除法.对选项(D)，只有正项级数才有比较审敛法，故选项（D）错误．对于选项（C），例如发散，但不满足故选项（C）错误．对于选项（B），由于所以当和收敛时，有收敛而不是逆命题成立，故选项（B）错误．由排除法选项（A）正确．10.选(D).用直接法．因为所以有即有而收敛，从而收敛，故绝对收敛，肯定收敛，因此选项(D)正确．11.选(C).用排除法．选项（A）显然不正确．对于选项（B），若则而收敛，故选项（B）错误．对于选项（D）,若则而收敛，故选项（D）错误．由排除法选项（C）正确．12.选(D).用排除法.对选项(A),当时,与未必为正项级数,故选项(A)错误.对于选项(B),当

3、时,未必故选项(B)错误.对于选项(C),此时发散,但未必发散,故选项(C)错误.由排除法选项(D)正确.事实上,由必有所以为正项级数.若发散,则必发散,由比较法知发散,故选项(D)正确．13.应选(B).用直接法.由题设在点处,所以在处级数绝对收敛,故选项(B)正确．1114.应选（B）．用直接法.由于其中与都收敛,故收敛.但其中收敛,发散,从而必发散,所以条件收敛,因此选项(B)正确.15.应选（B）．用直接法.由于为正项级数,而由于收敛,由比较法知收敛,因此绝对收敛,选项(B)正确.16.由于则为正项级数．用比值法级数收敛．17．由于则为正项级数．用比值法．所给级数收敛．1

4、8.由于则为正项级数．用比值法．当时，（*）式11极限为1，比值法失效，但此时所给级数发散．当时，（*）式极限为所给级数收敛．当时，（*）式极限为所给级数收敛．19.由于则为正项级数，用比值法当时，所给级数收敛．当时，所给级数发散．20．由于则为正项级数．由正项级数比较审敛法的极限形式知：若当时,与为同阶无穷小,则级数与P级数有相同的敛散性.由于(令则n®∞时,t®0)则有:所以当时,即当时,与为同阶无穷小,可见当时,有p>1,此时p级数收敛，因此级数也收敛.当时,有0

5、敛法知所给交错级数收敛．1122.由于当时所给级数绝对收敛；当时所给级数为是收敛的且为条件收敛．当时交错级数满足莱布尼兹审敛法的两个条件，所以是收敛的且为条件收敛．23.证：已知则有又已知和都收敛，所以收敛．由比较审敛法知收敛．而由收敛级数的性质知：级数收敛．证毕．24.证：由于又由于收敛，则有即有从而其中（收敛数列必有界），所以有已知绝对收敛，即收敛，也即收敛．由比较审敛法知收敛，因此级数绝对收敛．证毕．25.证：已知绝对收敛，所以收敛．由于由比较审敛法知收敛，所以绝对收敛．由绝对收敛知当n充分大时有由比较审敛知收敛．又由于再由比较审敛法知收敛．证毕．1126．（1）由于所以收

6、敛半径为即有也即有则有：收敛区间为当时，级数收敛；当时，级数发散．收敛域为（2）由于若则有：收敛半径为可以验证级数发散．若则有：收敛半径为可以验证级数发散．所以所给幂级数的收敛域为（教材答案书写不规范）（3）由于所给幂级数缺奇次幂的项，所以应直接用比值法求其收敛半径．所以收敛半径为收敛区间为当时，级数发散；当时，级数发散．所给幂级数的收敛域为27.由于收敛半径为收敛区间为当时，级数发散；11当时，由于级数发散．所给幂级数的收敛域为设则有其中所以和函数为当时，有所以有28.其中所以29.设,则即为所求．而其中11所以30．（1）(教材答案有误?)（2）（3）（教材答案有误？）31.

7、32．所求极限即为幂级数的和函数在时的函数值．设则有所以33．11所以在处，傅里叶级数收敛于在处，傅里叶级数收敛于34.由于在为偶函数，所以11所以（1）（1）式中令可得即有（2）（1）式中令可得(3)(2)与（3）相加得（4）（2）与（4）相减得即有35．证：由知又由泰勒公式有所以等价于由发散，知发散．又由知单调减，从而由莱布尼兹审敛法知交错级数收敛，且为条件收敛．证毕．36.先计算所以再求幂级数的和函数令即可得所求极限的值．设则有因此1137.由知，级数与同敛散，而则当n充分