高中数学第二章随机变量及其分布23离散型随机变量的均值与方差231离散型随机变量的

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1、2.3.1离散型随机变量的均值课堂导学三点剖析一、离散型随机变量均值的求法【例1】从4名男生和2名女生屮任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人屮女生的人数.(1)求X的分布列；(2)求X的均值；(3)求“所选3人中女生人数XW1”的概率.解析：(1)X可能取的值为0,1,2.ck•c3~kP(X二k)二一，k=0,1,2.c：所以，X的分布列为:X012131P555(2)由(1),X的均值为EX=0X丄+1X-+2X-=1.555(3)由(1),"所选3人中女生人数XW1”的概率为4P(XW1)二P(x=0

2、)+P(X二1)二-5温馨提示做这类的题目，首先要确定随机变量的分布列，然后再去求它的均值.二、离散型随机变量的均值的应用【例2】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，A队队员是AhA2,A：1,B队队员是Bi,B2,B：”按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员的胜率B队队员的胜率21Ai对Bi——3323A?对——5523A：j对B3——55现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A,B两队最后所得总分分别为§,n.(1)求E,n的概率分布；(2)求两队各自获胜的期望.解析：(1)

3、g,H的可能取值分别为3,2,1,0,§二3表示三场A队全胜，P(g=3):.p22X---,§二2表示三场中A队胜两场，有三种可能.557522心2)二一•・352z22z2、2z2、2—•（1一一）+—（1一一）•—+（1一一）•一-■■■"■5252.2,25352队胜一场，也有三种可能：P(2=1)二一•3.依题意可知:52513示三场A队全负.P(§二0)二一•一•35828=—,P(n=1)=P(=2)=—,P757553331—•—+—553（n二2）二P（XI）2OR一二一•§二1表示三场屮A5753

4、13•—+—•—53522—二一，§=0表55n=o）=p（c=3）3_25/、、…8282322(2)Eg=3X—+2X—+1X—+0X—二—.23乙队获胜的期望是二.157575525152322VC+n=3.AEn=3-E^—•故甲队获胜的期望是1515三、与其他知识的交汇题【例3】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响，设§表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(I)求§的分布及数学期望；(II)记“函

5、数f(x)=x2-3^x+l在区间［2,+◎上单调递增”为事件A,求事件A的概率.解析：(I)E的分布列为g13P0.760.24Eg二1X0.76+3X0.24=1.48.3Q3(II)因为f(x)=(x-—^)2+1-—所以函数f(x)=x2-3Cx+1在区间［—g,+8)上单242调递增,要使f(x)在［2,+8)上单调递增,4当且仅当32§W2,即2W—.34从而P(A)二P(gW—)3=P(C=l)=0.76.温馨提示该题考查概率的分布列、期望、随机变量E在某一范围内的概率，考查函数的单调性.但是它并没有直

6、接给出§的范围，而是通过函数的单调性间接地给出§的范圉，把断数的单调性和概率结合起来了.各个击破2【类题演练1】若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为土，乙解34出该题的概率为一，设解出该题的人数为求EJ5解析：记“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题”为事件B.C可能取值为0,1,2,——?4IP(g二0)二P(A)P(B)=(1—)(1—)=-；3515P(g二1)二P(AB)+P(AB)二P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1--)X-+-(1--)=35352248—；P心2)二P(A)P

7、(B)二一X—二53515所以§的分布列为：012p11525815I28故E§二OX—+1X—+2X—~1・467.15515【变式提升1］已知随机变量X的概率分布列为：P(X二k)二q「'p(k二1,2,…,0

8、①-②得：S-Sq二l+q+q'+・・・+qk+・・・即S(1-q)二丄_q•••s=亠亠(1-q)2p211.EX=pS=pX—P【类题演练2】某儿童商品专卖商场统计资料表明，每年六一国际儿童节商场内促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如不遇雨天可获得经济效益12万元.若促销活动遇到雨天则帯来5万元的经济损失.5月30日气象