高中数学第2章推理与证明21合情推理与演绎推理211合情推理互动课堂学案苏教

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1、2.1.1合情推理互动课堂疏导引导1.归纳推理是从个别事实中概括岀一般原理的一种推理模式.归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.磁率归纳推理有以下儿个特点：(1)归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围；(2)归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质；(3)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，仍是科学研究的最基本的

2、方法之一.2.运用归纳推理的一般步骤：首先，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；最后，对所得出的一般性命题进行检验•在数学上，检验的标准是否能进行严格的证明.3.类比推理(以下简称类比)是在两类不同的事物之间进行対比，找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.4.类比推理有以下几个特点：⑴类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究小的事物的属性，它以原有认识作基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一

3、定可靠，但它却具有发现的功能.5.在运用类比推理时，其一般步骤为：首先,找岀两类对象Z间可以确切表述的相似性(或一致性)；然后，用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.疑难疏引两个系统可作类比的前提是，它们各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上一致，因此，类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方而一致性的含糊认识说清楚，这不同于比喻.6.两种推理的区别与联系数学真理知识的发现、发掘和推陈出新,离不开对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理等过程•归纳推理和类比推理常常被认为是发

4、现数学真理的重要方法,前者是从特殊过渡到一般的思想方法，后者是由此及彼及由彼及此的联想方法.两种推理的思维过程可概活为：从具体问题出发IT观察、分析、比较、联想提出猜想

5、

6、归纳、类比浏览中外数学史，可发现许多有深远意义的极为重要的数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的•杰出的数学家欧拉、高斯等人都是运用归纳与类比的大师.归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，因此，在数学教学中加强这方面有趣而生动的训练，有助于培养我们的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.案例做下面的实验假设若干杯甜度相同的糖水，经过下面的操作后，糖水的甜度(浓度)是否改变？(1)①将所有杯中的糖水倒在一起；②将任

7、意多杯糖水倒在一起.(2)将某一杯水中再加入一小匙糖，糖全都溶化.类比这一实验，你能得到数学上怎样的关系式？【探究】(1)上述实验结果表明，将任意多杯甜度相同的糖水倒在一起后，糖水甜度不变，据此类比，若将?，冷，-看作倒前糖水浓度，则倒后甜水的甜度为.hclnb+dnnil.am“eQ+(?+•••+加acmZ11“、即由一二…二一,町得二—二—二…二—(b+d+・・・+nHO)bnb+dnbclnhh+/??(2)设某一杯浓度为匕，加入糖的质量为m(m>0).因糖全部溶解后的浓度为一,因糖水aci+mh+itih变甜，故可得到一>-(a>b,m>0)a+ma答案：(1)得到数学上的

8、等比定理，”dcmnil右一=—=•••=—,贝ijbdna+c+・・・+加acm二——二——二•••二—、b+d+•••+«bdn(b+d+・・・+nHO)(2)得到不等式，若a、b均为正数，Ha>b,m为正数(m>0)则匕v勺".aa^m规律总结1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理•在数学研究屮，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程概括•为：从具体问题出发—►观察、分析、比较、联想—►归纳、类比f提出猜想活学巧用例1在平面内观察:凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对

9、角线,由此猜想凸n边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条;凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条;于是猜想凸n边形的对角线条数比凸旷1边形多n-2条对角线.由此凸n边形对角线条数为2+3+4+5+・・・+(n-2)二—n(n-3)(n^4,n^N*).2例2意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月