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《小学六年级数学第3讲：等积变形（教师版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三讲普积变形知识械理1.等积模型①等底等高的两个三角形而积相等；②两个三角形高相等，而积比等于它们的底Z比;两个三角形底相等，血积比等于它们的高之比；如图:S2=a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如图氐①反之，如果s△心=S△灿，则可知直线AB平行于CD.④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面枳的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.2.鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三
2、角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在△ABC屮，分别是A3,AC上的点如图（1）（或D在脑的延长线上，E在AC上），图(i)1.蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：(DS1:S2=S4:S3或者S,xS3=S2x54(2)AO:OC=(S1+52):(S4+53)蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方而可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.①S
3、沾3=亍:b2②S]:S、:S2:S4=a2:b2:ab:ab；③S的对
4、应份数为(a+b)2.4.相似模型(一)金字塔模型(-)沙漏模型TAD_AE__AF~AB~~AC~~BC~~^G'②S&BC=AF?:AG2•所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的屮位线.三角形中位线定理：三角形的屮位线长等于它所对应的底边氏的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形Z间的边与血积关系相互转化的
5、工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.5•共边定理（燕尾模型和风筝模型）共边定理：若直线A0和BC相交于D（有四种情形），则有Se・Smco=BD:DC在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点0,那么:S^co=BD:DC.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AAB0和AACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形Z屮，为三角形屮的三角形面积对应底边Z间提供互相联系的途径.AE0教学重•难&1•了解三角形的底、高
6、与面积的关系，会通过分析以上关系解题。2•能在解题中发现题0中所涉及的几何模型。趣味引入例1:特色讲舞如图，正方形血匕9的边长为6,AE=1.5,CF=2.长方形刃乙7的面积为分析：连接DE,DF,则长方形刃乞〃的面枳是三角形〃防面枳的二倍.三角形财'的而积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,Shdef=6x6—1.5x6*2—2x6*2—4.5x4*2=16.5,所以长方形EFGH强积为33.例2：长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点,问阴影部分面积是多少？分析：解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC,如下图:可
7、得:AHDS-isQ、FHB_£Q'CHB、QM)HGM)HC，=18.而SaBCD=SgHB+SchB+SchD=36即S、EHB+S'BHF+S'DHG=勺(S^HB+S'CHB+HD)=勺而S^hb+S^hf+S、dhg=S阴影+S^ebf,D(H)S、ebf=~xBExBF=—x(—xAB)x(—xBC)=—x36=4.5.所以阴影部分的面积是：S阴谚=18-SAEfiF=18-4.5=13.5解法二：特殊点法.找H的特殊点，把H点与Q点重合，那么图形就可变成右图：GEABFCAAED这样阴影部分的而积就是ADEF的面积，根据鸟头定理，则有:S阴
8、影=SabCD_^AAED_SCFD“11“111“11“=36—x—x36—x—x—x36—x—x362222222=13.5例3：如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,=AD=15,四边形EFGO的面积为-ADBFC分析：利用图形屮的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积Z和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.由于长方形ABCD的面积为15x8=120,所以三角形BOC的面积为120x-=30,所以三角43形AOE和DOG的面积之和为120x—-70=20；4又三角形AOE、DOG和
9、四边形EFGO的面积之和为120x〔丄-丄］=30,
