概率论与数理统计第二章重点习题和答案

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1、习题三1.一个袋子中装有四个球，它们上面分別标有数字1,2,2,3,今从袋中任取一球后不放回，再从袋小任取一•球，以X,/分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求（X,Y）的分布列.解（x,y）的分布列为2111-61-61-6其屮P(X=,Y=)=P(X=i)p(y=ixi12j_60=1)=0p(x=1,y=2)=p(x=i)p(y=2

2、x=i)I21=—x—=—436余者类推。2.设(X,"的概率密度为丄(6—兀一y),0

3、x

4、(2)D={(x,y)

5、x+y<3}。求P{(X,Y)wD}(1)P{(")wMJ^(6-x-y)dxdxy=—6———8Xa0J^6-x-y)dxdxy38(2)P{(X,y)eD}=JJ「g(6—x—y)必dyJox(l—x)dx——J[(3—x)2—19-4I3-兀+)=31,0,/（x，y）r-h>ofx（兀）=J/（x，y）dy=l2x,0

6、dx,一1vy50,1+y,-Ivy50,

7、•rQ1=<1-y,0vyv1,fdx,Jy0

8、y

9、vx内服从均匀分布,求边缘概率密度。解（X,Y）的概率密度为（兀,y）eD,其他.关于X和Y的密度为1-1yI,丨y1<1,o,其他.4.一电子仪器由两个部件组成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位:F（x,y）=+^-0.5（A+y）T小时）己知X,Y的联合分布函数为:x>0,y>0其他.（1）问X，Y是否独立？为什么？（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率.解（1）先

10、求边缘分布函数：〔1_严大Y>0Fx（x）=limF（x,y）=A5"；y*[0,x<0.—、「耐、jl-八"，）J0,Fy（y）=limF（x,y）=]xtp[0,yv0.因为F(x9y)=Fx(x)-FY(y)f所以X,Y独立.(2)dxno.i,y>o.i)=ax>o.iw>o.i)=[i-nxo,y>o,/U,y）=^I0,其他.间X,y是否独立？0,+0解边缘密度为A(x)=fy)dy=J

11、—ooX6_JO,x<0,e~ydy.x>0;x>0.彳（—J。，"O’2〉，y>0.因为/（X,y）=/x（》/y（）'），所以X,Y独立.6.设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变最（X,Y）的联合分布律及关于X和关于丫的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处.%%P{X=xi}=pi.18兀218吃=刃）=匕161解设P(X=x「Y=yj)=pg1=1,2,j=1.2,3.由联合分布和边缘分布的关系知Ai=124由独立性Al=7X(^ll+

12、+A3)oo右+£+卩3,故卩31121111

13、b248124A、3022=(§+#22)X&，3卩2・=—224一3所以P22=g»Pl62311_1312~4所以（x,y）的分布为%%%P{X=兀}=Pi兀111112481241313八28844HY=yJ=p.j16121317.设随机变ax,y相互独立，且都服从（-。历上的均匀分布，求方程r2+rx+y=0冇实根的概率.解设A二'方程有实根'，则A发生oX2-4/>0即P(A)=P(X2>4/)=JJf(x,y)dxdy/?<4.P(X2>4/)=1-:算少一汕

14、133“-詞应-迈防+8闷8.设(X

15、,Y)的概率密度为3x,00,y>0.0,其他.不等式0vz+yvl,z>0,y>0确定平面域如图当当/(z+y,y)=z<0或Z>1时£(z)=0,0

16、机变量，且34p{x>o,y>0}=-,p(x>o)=p(r>o)=-,77求P{max(X,y)>0}.解P{max(X,y)>0}=P{(X>0)U(K>0)}=P(X>0)+p(y>0)4435-p{x>o,r>0}=-+——-=-•77779.假设一电路装有三个同种电器元件，具工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为久>0的指数分布.当三个元件都无故障时，电路正常工作，否