《高级生物统计》课程讲义教案-第四讲典型相关分析

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1、第四讲典型相关分析CANONICALCOORELATIONANALYSIS基本知识一、适宜资料：两组变量间呈线性相关关系。二、分析目的：把研究两组变虽间的复杂相关性简化为研究两个综合典型变量间的相关，并由各对典型变虽:的线性组合中系数的绝对值的大小，分析各变量（因素）在这个典型变量中的地位（作用）。从而把人量繁杂的简单相关研究简化为简单综合的典型相关研究，有利于发现问题的关键和本质。三、分析思路：在两组变量中，分别找出由它们的线性组合构成的综合变量——典型变量，并使它们的典型相关最人，利用拉格朗口乘数原理，求出典型相关

2、系数人及特征向量匕和并构造出各对典型变量“，和匕，最后利丿IJ各典型变量中的特征向量的分量匕和几分析该因索对典型变量的影响的作用（相对重要性）。四、分析方法：见后。对两个变量间的相关性研究，可以通过相关分析，了解其相关程度及性质。而在研究两组变量间的相关关系时，譬如，在研究一组环境因素与畜禽诸生产性能间的相关性时，通常不采用一对一的玄接研究，而是把各环境因素当作一个整体，把各牛产性能也作为一个整体來研究。这时研究两组变量之间的相关就变为研究两个新的变量之间的相关研究。当然，这两个新的变量分别由各自整体屮变量的线性组合所

3、构成,因而不会丢火原来的信息。而乱这两个线性组合具冇这样的性质，即由它们所构成的两个新变量Z间具有最大的相关。类似地，还可找出由两组变量构成的第二对线性组合，该组合与第一对线性组合不相关，但该对组合间有最人的相关。如此类推，肓到两组变量间的相关被分解完毕。这种逐步得到的线性组合称为典型变量，它们之间的相关系数称为典型相关系数，这种分析方法就称为典型相关分析。可见，典型相关分析是研究两组变量间相关关系的一种统计方法。由于它避免了孤立地对两个变量间的研究，因此，分析结果较为全面，J1各组中变量个数不受限制，应用十分广泛。第

4、一节典型相关系数与典型变量在实际工作屮，我们通常接触到的多为样木资料，对其所在总体的参数常是未知的，所以，对于总体的典型相关系数及典型变量，只能通过样木数据对其估计。以下着重介绍样木典型相关系数及典型变量的计算方法。一、典型相关系数设有两组变量X

5、{X

6、,X2，…，Xp}和X2{Xp+I，Xp+2，Xp+q}的n次观察值取自多元正态总体Np+q（U,L）,样木数据阵为：/兀11X12…xp+1兀1p+2…"'X=[XpX2]=X2X22…X2/?+]”2p+2…X2p+q••••••••••••••••••••••

7、••Xn2…兀“+2•••r”+g丿由X计算得协方差阵为：Z=£

8、p+q=Z^2J“和V分别为X】，X2的任意一个线性组合——典型变量（由各组变量的线性组合构成的综合变量），典型变量间的相关系数称为典型相关系数，记为人（利用典型和关系数来代表两组变屋间相关性的分析方法称为典型相关分析）。根据拉格朗日乘数&=力乙20-+人（刃纭1^）—+几2（0'工220），利用特征方程&2心存21-才心=0求出特征根人（典型相关系数），再把人代入下列方程：（/?12/?^J/?21-^2/?,,）^=0（3—12）或（心&：心一才心2）0=0（3—13）即可求出构成各典型向量的线性组合的系数一^征向

9、量匕和0,。以下在教学中可以省去。上式分别为X

10、,X?的任意一个线性组合，其中，5（i=l,2,p）,[3j（j=l,2,...q）为任意实数。（3-1）式中的a,B若确定，则U,V便确定。确定a,B的原则是使U,VZ间的相关系数P达到授大，即p=E（UV）/^EU2EV2为授大。假设a,B是这样的向量：能使得U,V都具有单位方差（方差为1）即（3—2）EU2=Ea,XiX[a=a，Xncc=EV2=E/TXzX/=0工220=1此时有EU=Ea'X=aEXx=0EV=E/?X2=/3rEX2=0于是问题转化为在方

11、差为1的限制条件下，求使ECU,V）达到最大的a,B。根据求条件极值原理。0—a'Z]20_*&（^工]]&）—*兄2（0'三220）式+Xp入2都是拉格朗口乘数。求8对u，B的-•价偏导数。并令其为零，则何:f^=》i20-入工11"。(3—3)daP/9—=Z21-^2工220=060上、卞式分别左乘以u'、B'得：刃工］20