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《《高级生物统计》课程讲义教案-第六讲方差分析最优线性无偏估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第六讲方差分析的最优线性无偏估计法BLUPOFANOVA（本讲不讲）1974年美国康奈大学C・R・HendersonI専士及其协作者首先提出应用线性模型来评价种公牛育种值的方法。他们将育种值作为观察值的线性函数采用稍做改良的最小二乘分析法，使其估计值的误差为最小。并定名为最优线性无偏佔计（BestLinerUnbiasedPredication简称BLUP法）。由丁•该法具有对估计效应值的误差最小、粕度最优及无偏的特点，并可山计算机进行大量的繁琐计算，故BLUP法在八十年代就被一些先进国家的学者应用于生产实践中，并在方差分析屮得到具体的应用
2、。第一节参数的最小二乘估计假定观察的随机变聚Y与若干个因素X
3、,X2,…，Xp间存在线性关系，其线性模型为：Y=BlXl+132X2+-+3pXp+£（5—1）其中Bi，B2・・・Bp为待估的参数，£为随机误差。若对X】，X2・・・Xp,Y作n次观察（实验），则（5—1）式可表示为：X=旺101+山202+…+兀"0“+©歹2=兀2101+兀2202p+=2z.<（j一2）••••••、儿=£101+£202+…+XgPp+£n将（5-2）式改写成矩阵形式为：Y=PX+e（5—3）式中Y为观察值向量，B为参数向量，X为设计矩阵或结构矩阵，£
4、为误差向量。通常假定£i〜N（o,八）i=l,2,…，n且相互独立，因此对于（5—3）式可进一步记为（Y,XB,o21）,意为观察值向量Y冇(5-4)EY=XPVarY=a2I对线性模型（5—4）,主要对B或B的函数及。$作出估计并进行假设检验。二、效应的最小二乘估计对于［3的估计，根据（5-4）式有：（X'X）P=X/Y（5—5）称（5—5））式为正规方程，它的解为B的最小二乘估计，记作p。1、当（X’X）为可逆（满秩）矩阵时，/3=(XfX)—WY(5—6)若要估计B】，B2,・・・Bp的线性函数P=C
5、P]+C2B2+・・・+CpB卩
6、(5—7)则P=c'BCf=(Ci，C2,・・・Cp)称为P的最小二乘估计。对于。2的估计记：毗=(Y-XB丫(Y-XB)=V-B'X'Y-XB)由(5—6)式有&=yr-Y^=YY-^XV(5—8)称/?：为残差平方和，记「为X的秩，贝IJd2=R^/n-r(5—9)为o2的无偏估计。最小二乘估计的性质有：£(4)=E[(X)~lX7]=(X^X^X'EY=(X^)~*X(J=(3(5—10)Var(^)=Var[(X)_,XV]=(X)_lXa2IX(XX)-1(5—11)=(X-,X)-IXXcr2(XX)_1/=<72(XX
7、)-1类似地：ECB、=C卩(5—12)Var^C'p)=(y2CXyxC(5—13)即：B、C‘P分别为B、C'B的唯一最小方秀线性无偏估计，简称BLUE(BestLinearUnbiasedEstimator)2、当(X‘X)不可逆时，(5—5)式无唯一解，p有无穷多解，此时常对B加上一个约束条件HP=0(5—14)使B的各分量不独立，从(5—14)可解出B与其屮独立的那部分分量间的关系：[3=T0(0)(5—15)B⑹是B中在约束(5-14)下，独立的那些分量构成的向量(维数vP),于是原模型(5—4)变成(5——16)EY=
8、(XT)0⑼VarY=(y2I对于B(°)而言，乂成为无约束问题了，所以上述(5-5)至(5—13)仍可适用，只须将其屮X改为XT,B改为P(0),于是冇正规方程(XT)'(XT)P(0)=(XT)'Y(5—17)解出P(0),并由(5-15)式得到p,这时p、C0是在HB=0约束条件下的唯一啲BLUE,记九°。三、对于参数的假设检验，即检验：1、R：心〜力"〃一门(5—18)其中r=rank(X),即X阵的秩。2、在约束H
9、B=0下RLKY-XBhHY-XBh)(5—19)可以证明R：心〜力2(£)(5-20)d=川-[厂(2)-厂(H
10、
11、)](/?：_&)/，〜才G)6/2=r(X)-[r(^)-r(H,)]3、在假设H
12、B=O成立时(5—18)与(5—20)式独立(R；-Rb/d.(5—21)1),这是个理想的约束。它的特点是秩F=〃打o■〜F(d^n一r)Rl/n-r在方差分析中虽然常有约束，如各效应之和为0,即H=(1rank(^)=P=rank(X)+rank(H)即满秩，如(12X=(201、b//=(101)21>rank=P=rank201/J0b3x3这时有心仍可用(5-21)检验H』=0是否成立。一、数学模型第二节单因素方差分析的最小二乘估计Yij=口
13、+ai+罚It中yq为A因索第i个水平的第j次观察值,O：),□为总体平均数。(1A)式可写成Y=XB+€其中Y‘=(yi】・・・yi,n】・・・ypi・・・yp,叩)，e'=(
