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1、佛山学习前线教育培训中心初三数学讲义（66期）第一讲圆的基本性质题型分类：无星代表普通高中★重点高中★★三大名校z一、魔法装备一.圆的定义和对称性：1.圆的定义：在平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点0叫做圆心；线段0A叫做半径；以点0为圆心的圆，记作00,读作“圆0”•••••2.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为「点到圆心的距离为d,贝IJ:①点在圆上<===>d二r;②点在圆内〈二=>dd>r.3.与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径
2、：经过圆心的弦叫做直径。•••②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“7表示，•••以CD为端点的弧记为心卫”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。••优弧：大于半圆的弧叫做优弧。••劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。）••③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。••④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。•••⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。••⑦圆心角：顶点在
3、圆心的角叫做圆心角.•••⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.•••1.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。探5・垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。探6.定理：在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对
4、应相等.推论：在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦，④两条弦心距中，有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.中）（务必注意前提为：在同圆或等一.圆周角和圆心角的关系：1.1°的弧的概念：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的角都是1。的圆心角，相应的整个圆也被等分成360份，每一份同样的弧叫1。弧.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等，而不是角与弧相等•即不能写成ZA0B二亦,这是错误的.3.圆周角的定义:顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角.※丄圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对
5、的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：R2=(R-h)2+一.确定圆的条件：1.理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.2.三角形的外接圆、三角形的外
6、心、圆的内接三角形的概念：(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.二、魔力升级例题1：如图，AB为半圆直径，0为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，0E交弦AC于点D。若AC=8cm,DE二2cm,求0D的长。★变式练:1-1：如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、Eo求AB、AD的长★变式练习1
7、-2：00的点径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,ZCEA=30°,求CD的长。例题2：如图，AABC内接于圆，D是邑£的中点，AD交BC于E,求证：AB・AC=AE・AD。变式练习2-1：已知：如图所示，ABC是的内接三角形，00的直径BD交AC于E,AF丄BD于F,延氏AF交BC于G.求证：AB2=BGBCD★变式练习2-2：已知：如图，BE^AABC的外接闘0的直径,CD是AABC的高.(1)求证：AC・BC二BE・CD;(2)己知CD二6,AD二3,BD=8,求00的直径BE的长.三、魔法比拼（一）选择题：相信你一定能选对！1、。0
8、中，弦AB
