第21讲 圆的基本性质

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1、第六单元圆第21讲圆的基本性质考点1圆的有关概念圆的定义定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.定义2：圆是到定点的距离①定长的所有点组成的图形.弦连接圆上任意两点的②叫做弦.直径直径是经过圆心的③，是圆内最④的弦.弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有⑤之分，能够完全重合的弧叫做⑥.等圆能够重合的两个圆叫做等圆.同心圆圆心相同的圆叫做同心圆.考点2圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过⑦的直线.圆是中心对称图形，对称中心为⑧.垂径定理定理垂直于弦的

2、直径⑨弦，并且平分弦所对的两条⑩.推论平分弦(不是直径)的直径⑪弦，并且⑫弦所对的两条弧.圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量⑬，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.考点3圆周角圆周角的定义顶点在圆上，并且⑭都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑮.推论1同弧或等弧所对的圆周角⑯.推论2半圆(或直径)所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是.推论3圆内接四边形的对角.【易错提示】由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦可以在圆心的同

3、侧和异侧两种情况，所以利用垂径定理计算时，有时要分情况讨论，不要漏解.1.注意在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角和圆周角等量关系的互相转化；利用垂径定理进行计算或证明，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.2.圆的性质的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件.命题点1圆的有关概念例1下列说法中，正确的是()A.直径是弦B.弧是半圆C.长度相等的弧是等弧D.弦是圆上两点间的部分方法归纳：解答这类试题的关键是结合图形理解圆的有关概念的内涵.1.如图，MN为⊙O的弦，∠M=30°，则∠MON等于()A.30°B.60

4、°C.90°D.120°2.(2014·长宁一模)下列说法中，结论错误的是()A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧3.到定点O的距离为3cm的点的集合是以点为圆心，为半径的圆.命题点2垂径定理例2(2014·常德改编)如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，求圆心O到弦CD的距离.【思路点拨】连接OC，由AB=10得出OC的长，再根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出OE即可.【解答】方法归纳：利用垂径定理进行

5、计算或证明时，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.1.(2014·舟山)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为()A.2B.4C.6D.82.(2014·广东)如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为.3.(2013·株洲)如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是.4.(2014·金山一模)如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8.求⊙O的半径.命题点3圆心角、弧、弦之间的

6、关系例3(2013·厦门)如图，在⊙O中，=，∠A＝30°，则∠B＝()A.150°B.75°C.60°D.15°方法归纳：在求圆中角的度数时，通常要利用圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系进行求解.1.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是()A.40°B.60°C.80°D.120°2.(2014·江北模拟)如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为()A.5πcmB.6πcmC.9πcmD.8πcm3.如图，在⊙O中，点C

7、是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度.4.(2013·松北一模)如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，=，点E为OD上任意一点(不与O、D重合).求证：AE=BE.命题点4圆周角定理例4(2013·湛江)如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=()A.25°B.35°C.55°D.70°【思路点拨】因为AB是直径，所以∠BDA=90°，再根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系可求得∠ADC的度数.方法归纳：在圆中，出现直径时，一般都联想到直径所对的圆周角是直角.圆周角与圆心角之间的转化也是解决问题

8、的关键点.1.(2014·山西)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·台州)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是()3.(2014·衡阳)如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为.4.如图，⊙O是△ABC的外