第9讲圆的基本性质教师版

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1、第九讲圆的基本性质中考要求内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题知识点睛一、圆的基本概念圆的定义1．描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个

2、端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．2．集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．3．圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”圆“．4．同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．弦和弧1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．3．弦心距：从圆心到弦的距

3、离叫做弦心距．4．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．5．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．6．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．2010年·暑假初三数学·第9讲·教师版page16of16二、垂径定理圆的对称性圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图

4、形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．⑴旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心．圆的旋转对称性弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中一组量相等，则其余三组量也分别相等，其相互推导关系如下图：所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．⑵轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为

5、它的对称轴．圆的轴对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2．推论1：⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道

6、任何两个量就可以求出第三个量．2010年·暑假初三数学·第9讲·教师版page16of16重、难点重点：（1）揭示圆有关的本质属性（2）垂径定理的探索及其应用难点：垂径定理探索及其应用例题精讲一、圆的基本概念【例1】判断题：⑴直径是弦()⑵弦是直径()⑶半圆是弧()⑷弧是半圆()⑸长度相等的两条弧是等弧()⑹等弧的长度相等()⑺两个劣弧之和等于半圆()⑻半径相等的两个圆是等圆()⑼两个半圆是等弧()⑽圆的半径是，则弦长的取值范围是大于且不大于()【解析】√；×；√；×；×；√；×；√；×；√．【点评】学

7、生刚开始接触圆，基本概念一定要清晰，老师在讲完概念以后可以再补充几道判断题让学生快速口答．【例2】下列判断中正确的是()A．平分弦的直线垂直于弦B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【解析】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧，答案是C．【例3】如图，在两半径不同的同心圆中，，则()A．B．2010年·暑假初三数学·第9讲·教师版page16of16C．的度数的度数D．的长度的长度【解析】因为在圆中，圆心角的

8、度数与它所对的弧的度数相等，而，所以的度数＝的度数．所以答案是．【巩固】在同圆中，的度数小于，且，那么弦和弦的大小关系为()A．B．C．D．无法确定【解析】D．如图当的度数为时，；当的度数大于时，，当的度数小于时，．【例1】如图，点在半圆上，四边形均为矩形，设，，则下列格式中正确的是()A．B．C．D．【解析】连结由矩形对角线相等可知，又，∴．选B．【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为______